复变函数6.2用留数计算实积分.ppt

例6 计算 的值. [解] 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai, ,(充分小)上连续,且 引理6.3 设f(z)沿圆弧 证 因为 与引理6.1的证明相仿,得知上式存在r充分小时, 其值不超过任意给定的正数?? . 于Sr 上一致成立,则有 于是有 图6.3 a r Sr 例4 计算积分 的值. [解] 因为 是偶函数, 所以 为了使积分路线不通过原点, 取如下图所示的路线. 由柯西积分定理, 有 Cr CR y x O -r r R -R Cr CR y x O -r r R -R 令x=-t, 则有 因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限 下面将证明 也可直接证明 由于 所以 j (z)在z=0处解析, 且j (0)=i, 当|z|充分小时可使|j (z)|?2, 而 由于 在r充分小时, Drichlit积分 例题 例6.17. 计算积分 解：若b=0,则： b≠0,时，不妨设b0： 故可取辅助函数 并取如图所示的积分路径 O x y -R R A B C D 则由Cauchy积分定理得： 在BC上：z=R+iy (0≤y≤b/(2a) b/(2a) 在BC上：z=R+iy (0≤y≤b/(2a) O x y -R R A B C D b/(2a) 在AD上：z=-R+iy (0≤y≤b/(2a) x O y -R R A B C D b/(2a) 6.2 用留数定理计算实积分 表示cos(?),sin(?)的有理函数, 并且在 上连续. 当?? 经历变程[0,2?]时,z沿圆周|z|=1 的正方向绕行一周.因此有 这里R(cos?,sin? ) 方法: 令 (这里关键的一步是引进变数代换z=ei? ,至于 被积函数在[0,2?]上的连续性可不必先检验, 要看变换后的被积函数在|z|=1上是否有奇点.) 右端是z的有理函数的周线积分,并且积分路 径上无奇点,应用留数定理就可求得其值. 例6.7 计算积分 解 (1) p=0时 令：z=ei? (2)以下设 p?0 1) |p|1时 2) |p|1时 3) p=1时 无法算！ 瑕积分！ 4) |p|=1,p?1时 自己讨论！ 例6.2.2?? 计算积分 (a1)。 解：令 而且t从0增加到2?时， z按反时针方向绕圆C:|z|=1一周。 因此 于是只需计算 在|z|1内极点处的留数 显然 不难发现,f(z)共有两个一阶极点： 于是求得 例2 计算 的值. 解：令 例 3 解： 引理6.1 设f(z)沿圆弧 一致成立(即与 中的 无关), 则 上连续(图6.3),且 于SR上 (6.9) O x R SR 图6.3 证 因为 (6.10) 使当 时,有不等式 (6.9) 为互素的多项式,且合条件: 定理6.7 设 为实的有理分式,其中 (6.11) (1) n-m≥2; 证 首先，f(z)=P(z)/Q(z)只可能有有限个孤立奇点 即 Q(z)的零点： a1,a2,…,ak O x .a2 .ak .a1 y .a3 .a4 z 所以由Cauchy法则,知 (图6.4).于是, 由线段[-R,R]及?R合成一周线CR 取上半圆周 作为辅助曲线 存在,且 O x .a2 .ak .a1 y .a3 .a4 z 图6.4 -R R 先取R充分大,使CR 内部包含f (z) 在上半平面内的一切孤立奇点(实际上只有有限个极点). CR ?R 而由条件(2),f(z)在CR 上没有奇点. CR=[-R,R]+?R 按留数定理得 或写成 因为 (6.12) 由假设条件(1)知n-m-1≥1,故沿?R上就有: | z f (z) |?0 (R?+∞). 在等式(6.12)中命R??+∞,并根据引理6.1, 例6.11 设a0，计算积分 解： 共有四个一阶极点, 其中只有a0, a1在上半平面上,于是： 例6.12 设a,b0，计算积分 解：这里 共有四个一阶极点为 ±ai,±bi,其中只有ai,bi,在上半平面内 例6.2.5?? 计算积分 解：考虑函数 在上半平面上有一个二阶极点i。 例 4 例 5 解： 引理6.2(约当Jordan引理) 设：① g(z)沿半圆周 上连续,② 在 上一致成立.则