1-1教学重点（教学时数4～5节）.doc

教學補充例題 2-1 平面方程式 ( 求平面方程式 ) 求滿足下列條件的平面E方程式： (1) 過點P ( 1，1，1 ) 且垂直平面3x＋y－z＋1＝0與4x－2y－z－5＝0。 (2) 與平面3x＋2y＋z＋11＝0平行，且與三軸之截距和為22。 求平面方程式的要點是求法向量，平面上的一點P，再用點法式去表示平面方程式。 (1) 設E的法向量， 平面3x＋y－z＋1＝0與4x－2y－z－5＝0的法向量為， E與平面3x＋y－z＋1＝0與4x－2y－z－5＝0均垂直， ⊥且 ( // (×＝ ) (－3，－1，－10 )， 取＝( 3，1，10 )，又E通過點P ( 1，1，1 )　 E的方程式為3 ( x－1 )＋( y－1 )＋10 ( z－1 )＝0。 (2) E與平面3x＋2y＋z＋11＝0平行，可取＝( 3，2，1 ) 可設E的方程式為3x＋2y＋z＋k＝0 x，y，z軸的截距分別為，，－k ( ＋()＋(－k )＝22 ( k＝－12，E的方程式為3x＋2y＋z－12＝0。 設平面E過A ( 0，－1，0 )，B ( 0， 0，1 ) 兩點，而與平面F：y－z－2＝0的一個夾角為60° ，求平面E的方程式。 由截距式設所求平面E：＋＋＝1 (( x－ay＋az＝a， 令法向量＝( 1，－a，a )，又F：y－z－2＝0，＝( 0，1，－1 ) 〔注意缺項補零，易看錯成 ( 1，－1，－2 )〕 cos 60°＝＝ (( ＝ (( ＝6 (( a＝ 所求平面E為±x－y＋z＝1 空間中平面E的方程式為x＋y＋z＝2，令L為平面E與xy平面的交線，現在將平面E以L為軸旋轉α，得到新的平面E，E通過 ( 3，1，－4 )，請問 (1) E的方程式為何？ (2) sinα的值。 (1) 平面E與x，y軸的交點A ( 2，0，0 )，B ( 0，2，0 )，分別落在L上， 所以E通過A，B兩點， 所以E通過A ( 2，0，0 )，B ( 0，2，0 )，C ( 3，1，－4 )。 設平面E的法向量為，＝(－2，2，0 )， ＝( 1，1，－4 )， // ( (－2，2，0 ) × (－1，1，0 )＝ ) (－8，－8，－4 )， 取＝( 2，2，1 )，E方程式為2x＋2y＋z－4＝0。 (2) 依題意，a為E與E的交角，cosα＝＝，sinα＝＝。 平面E1：7x－y＋2z＋10＝0，E2：4x＋4y－8z＋3＝0，求E1及E2所夾二面角之平分面方程式。 設P ( x，y ) 為E1及E2所夾二面角之平分面上的任意點 (( d ( P，E1 )＝d ( P，E2 ) (( ＝ (( 4 | 7x－y＋2z＋10 |＝3 | 4x＋4y－8z＋3 | (( 4 ( 7x－y＋2z＋10 )＝±3 ( 4x＋4y－8z＋3 ) (( 16x－16y＋32z＋31＝0或40x＋8y－16z＋49＝0。 空間坐標中，設xy平面為一鏡面，有一光線通過點P ( 1，2，1 )，射向鏡面上的點O ( 0，0，0 )，經鏡面反射後通過點R，若＝2，則R點的坐標為何？ 【84.學測】 設P對xy平面的對稱點P，令R ( x，y，z )， 依題意 ( ＝，且P，O，R三點共線 又P ( 1，2，－1 )，＝－2 ( x，y，z )＝－2 ( 1，2，－1 ) ( ( x，y，z )＝(－2，－4，2 )。 若平面E經過P ( 1，3，2 ) 且在第一卦限與三坐標平面所圍成四面體體積最小，則　(1) 試求平面E方程式。(2) 此時四面體的最小體積為何？ (1) 設平面為E：＋＋＝1，a＞0，b＞0，c＞0， 代入 P ( 1，3，2 ) ( ＋＋＝1 (2) 由算幾不等式知： 1＝＋＋ ( 3 (( 1 ( 3? (( abc ( 27 × 6 ∴ 體積V＝abc ( 27 × 6 ×＝27。 (3) 體積最小值為36 ((＝成立 (( ＝＝＝ (( a＝3，b＝9，c＝6 平面E：＋＋＝1 (( 6x＋2y＋3z＝18。 空間中四平面x＝0，y＝0，z＝0，x＋y＋z＝1圍成一個四面體，試求此四面體之內切球的半徑。 I到三坐標平面等距，且在第一卦限，故設球心I ( r，r，r )，且r 0 ＜法一＞( 利用距離 ) 令E：x＋y＋z－1＝0， 則d ( I，E )＝r (( (( ( 3＋ ) r＝1 (( r＝但I與O在平面E的同一側 〔取I ( r，r，r ) 與O代入x＋y＋z－1皆同號者〕　 取r＝。 ＜法二＞( 利用體積 ) O-ABC體積＝I-OAB體積＋I-OBC體積＋I-OAC體積＋ I-ABC體積 (( ×13＝( × 12 ) × r × ＋( ×