数理方程课程第二次作业讲解讲解.ppt

：方程(9)的通解为 2. : 方程(9)的通解为 有界杆的长度为L，其两端保持绝热，已知杆内初 始温度分布为?(x)，写出定解问题，求解杆内任意时刻的温度分布u(x,t)，并求系统的稳态温度。 ：(9)的通解 2. : (9)的通解 有界杆的长度为L，左端绝热，其右端保持恒定温度(摄氏零度)。已知杆内初始温度分布为?(x),写出定解问题，求解杆内任意时刻的温度分布u(x,t)。 1. 在物理上代表同一个点， 具有相同的温度: 这个条件称为“周期性边界条件” 2. 物理上，圆内各点的温度应该是有界的， 特别是圆盘中心的温度应该是有限的： 这个条件称为“自然边界条件” ：(7)的通解 : (7)的通解 3. : (7)的通解 要让它以2?为周期，必须取 即： 事实上： (10)为欧拉方程，其通解为 深圳大学电子科学与技术学院 一、有界弦的自由振动: 弦长度为L,两端固定,任意初始位移,任意初始速度。写出定解问题并求解。 （1） （2） （3） 解答：定解问题如下 设方程（1）有分离变量解： 代入方程（1）： 两边对x求导数： 设这一常数为-?，则 （4） （5） （6） 分离变量： 将边界条件（2）代入形式解（4）： 由于 ,否则 (平庸解,无实际意义),故 这样空间函数 构成下列常微分方程的边值问题: （8） （7） (9) (10) （平庸解:X(x)=0） 由(10)得 为了满足边界条件(10), (11)必须给出 (11) 下面求解边值问题： 设 这是一个关于A, B的线性齐次方程组，它有非零解的必要充分条件是系数行列式为零： 即 上式在k=0(即?=0)条件下成立，但在现在的 ?0情况下不成立，这意味着：方程组(12)只有零解 (12) 即 (9) (10) 为了满足边界条件(10),必须有 3.?0,方程(9)的通解为 由于 B 不能为零(否则X(x)=0) 设 将 代入关于 T 的方程: 其通解为 这样 解方程: 取本征解的叠加构成定解问题的一般解： 这样初始条件可以表示为 它们是函数 的傅立叶级数，展开系数为 二、求解弦振动的定解问题 在此种边界条件下，本征值和本征函数分别为 将这些本征值，代入关于T(t)的方程中 ，其通解为 一般解为： 利用初始条件，由 ，得Dn=0 (1) (2) (3) 三、求解热传导的定解问题 解答：定解问题为 设方程（1）有形式解： 代入方程（1）分离变量： （4） （5） （6） 分离变量： 将边界条件（3）代入形式解（4）： 这样空间函数 X(x) 构成下列常微分方程的边值问题: （8） （7） (9) (10) 有特解:X0(x) = A (常数) 由(10)得 , 为了满足边界条件(10),必须有 (平庸解 ) 但 下面求解边值问题： 为了满足边界条件(10),必须有 3. ,方程(9)的通解为 (9) (10) 求解边值问题： 将 代入关于 T 的方程: 其通解为 这样 解方程: 利用叠加原理写出一般解 利用傅里叶系数公式,得到 C0是本征值?=0相应的特解X0(x) = A 初始条件： 一般解与初始条件： (n=1,2,3,……) 系统最终趋于热平衡温度（稳态温度）: (1) (2) (3) 四、求解热传导的定解问题 解答：定解问题为 应用分离变量法，在此种边界条件下，本征值和本征函数分别为 将这些本征值，代入关于T(t)的方程中 ，其通解为 一般解为： 一个半径为?0的薄圆盘，圆周边缘的温度分布为 已知函数Bsin?，求达到恒稳状态时圆盘上的温度 分布。 五：求解定解问题 解答：恒稳状态时温度分布满足 写成极坐标形式为： 设方程（1）有径向和角向分离的解： 代入方程（1）得到： 分离变量： （3） （4） （5） （径向方程） （角向方程） 分离变量: 寻找物理上的边界条件： (7) (8) (9) (10) 常微分方程的定解问题 (7) (8) 有特解: (常数) 由(8)得到 , 不能满足周期性边界条件(