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1梯度、方向导数与切平面
1
1.1
f (x, y) ∇f (x, y)
∇f (x, y) ∂f , ∂f )
∂x ∂y
∇f (x, y, z)
∇f (x, y, z) ∂f , ∂f , ∂f )
∂x ∂y ∂z
n f (x , x , . . . , x )
1 2 n
n
∇f (x , x , . . . , x ) ∂f , ∂f , . . . , ∂f )
1 2 n
∂x1 ∂x2 ∂xn
2
f (x, y) x y sin(xy) (2, 3)
∇f (x, y) ∂f , ∂f ) ( 2xy y cos(xy) , x2 x cos(xy) )
∂x ∂y
∇f (2, 3) ( 12 3 cos(6) , 4 2 cos(6) )
1
1.2
方向導數 directional derivative
z f (x, y) xy− (a, b)
⇀ ⇀
u z f (x, y) (a, b) u
D⇀f (a, b) a, b
u
⇀
u (cos(θ), sin(θ))
F(t) f ( a tcos(θ) , b tsin(θ) )
(a, b) (cos(θ), sin(θ)) t
F(0) f (a 0, b 0) f (a, b)
F(t) t t 0 1
f (a, b) (cos(θ), sin(θ))
′
D⇀f (a, b) F (0)
u
′
F (0)
x y
d
f ( a t cos(θ) , b t sin(θ) )
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