3.5直线与平面的相关位置.ppt

第五节 直线与平面的相关位置 二、直线与平面的夹角 直线与平面的交点 * * 设直线和平面的方程分别为 一、直线与平面的位置关系的充要条件 定理1 直线(1)与平面(2)的相互位置关系有下列的 充要条件： 第五节 直线与平面的相关位置 1o 相交： ? AX+BY+CZ≠0 2o 平行 ? AX+BY+CZ=0 Ax0+By0+CZ0+D≠0 3o 重合 ? AX+BY+CZ=0 Ax0+By0+CZ0+D=0 证：将直线方程改与为参数式 第五节 直线与平面的相关位置 将（3）代入（2）并整理得 (AX+BY+CZ)t= -(Ax0+By0+Cz0+D) （4） 因此，当且仅当AX+BY+CZ≠0时，（4）有唯一解 这时直线与平面有唯一公共点； 当且仅当AX+BY+CZ=0， Ax0+By0+Cz0+D≠0时 方程（4）无解， 这时直线与平面有没有公共点； 当且仅当AX+BY+CZ=0， Ax0+By0+Cz0+D=0时 方程（4）有无数个解，这时直线在平面内。 第五节 直线与平面的相关位置 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角． ^ ^ 第五节 直线与平面的相关位置 （1）直线与平面的夹角公式 （2）直线与平面的位置关系： // ? s // n ? s ? n 第五节 直线与平面的相关位置 例1: 判定下列各组直线与平面的关系. 解: L的方向向量 s ={?2, ?7, 3} ? 的法向量 n ={4, ?2, ?2} s ? n = (?2) ? 4 + (?7) ? (?2) + 3 ? (?2) = 0 又M0(?3, ? 4, 0)在直线L上, 但不满足平面方程, 所以L与? 平行, 但不重合. 第五节 直线与平面的相关位置 解: L的方向向量 s ={3, ?2, 7} ? 的法向量 n ={6, ?4, 14} ? L 与 ? 垂直. 第五节 直线与平面的相关位置 解: L的方向向量 s ={3, 1, ?4} ? 的法向量 n ={1, 1, 1} s ? n = 3 ? 1 + 1 ? 1 + (?4) ?1 = 0 又L上的点 M0(2, ?2, 3)满足平面方程, 所以 , L 与 ? 重合. 第五节 直线与平面的相关位置 解 为所求夹角． 第五节 直线与平面的相关位置 第五节 直线与平面的相关位置 例2 设直线，平面，求直线与平面的夹角.