1.2 矩阵运算.ppt

一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵的乘法 四、矩阵的转置 五、矩阵的逆 又因为 所以 * 1.2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵的乘法 四、矩阵的转置 五、矩阵的逆 第一章 矩阵 １、定义 设有两个 矩阵 那么矩阵 与 的和记作 ，规定为 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例1 2、 矩阵加法的运算规律 称为矩阵 的负矩阵 1、定义 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵， 为数） １、定义 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 7 8 设 例3 解： 求 故 注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘，且乘积矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。 . 例4 不存在. ２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 例5 已知 求 解： 例6 已知 求证： 解： 故 注：由以上两例可知： 若AB=BA，则称A、B为可换的 (1) 如 (2) (3) 即矩阵乘法不满足消去律 例7 线性方程组 令 根据矩阵乘法的定义，方程组可写成矩阵形式 方阵的幂 2.性质 (1) (2) 注： 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 1.定义 k,l为正整数 如果 则 且此时有 例8、设 求An. 例9、设 求A2，A3,A4. 矩阵多项式 设有多项式f(x)=a0+a1x+…+amxm,A是n阶方阵，称 f(A)=a0I+a1A+…+amAm为A的多项式. 例10、设 ，求f(A) 解 例 １、转置矩阵的定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT 2、转置矩阵的运算性质 例11 已知 解法1 解法2 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 3、对称阵和反对称阵 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. 说明 定义： 由定义，反对称阵满足 是反对称阵 例如 例12 证明任一n阶矩阵A 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 证明 所以C为对称矩阵. 所以B为反对称矩阵. 命题得证. 在数的运算中， 当数 时， 有 其中 为 的倒数， （或称 的逆）； 在矩阵的运算中， 是否也有类似的结果？ 回答是肯定的，这就是逆矩阵。 定义 对于 阶方阵 ，如果有一个 阶方阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. ,使得 例 12 设 1、逆矩阵的概念 说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的. 若设 和 是 的可逆矩阵， 则有 可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即 例13 设 解 设 是 的逆矩阵, 则 利用待定系数法 * * *