1.2-2 矩阵运算.ppt

* 引例 总收入和总利润 设某地有甲、乙、丙三个工厂, 每个工厂都生产 产 品 工 厂 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 甲 乙 丙 20 30 10 45 15 10 70 20 20 15 35 25 (单位: 个) 如下表所示: Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 4 种产品。已知每个工厂的年产量 三、矩阵的乘法 已知每种产品的单价 ( 元/个 ) 和单位利润(元/个) 项 目 产 品 单 价 单位利润 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 100 20 150 45 300 120 200 60 求各工厂的总收入与总利润. 如下表所示: 项 目 工 厂 总收入 总利润 甲 乙 丙 15500 5650 28000 10350 19750 6775 甲厂： 乙厂： 丙厂： 解 各工厂的总收入为 各工厂的总利润为 甲厂： 乙厂： 丙厂： 可以列表如下: 本例中的三个表格可用三个矩阵表示, 设 设计算法： 规定 称C是A与B的乘积 定义 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n , i = 1, 2, … , m, j = 1, 2, …, n 则称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积, 记作 C = AB cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj C = (cij)m×n , 其中 注意: 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第 二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘. 乘法运算图示： (2) (1) 内 判定是否可乘 确定C的型号 外 如何确定C的元素？ 1. A与自身可乘 A为方阵 称A与B可交换 思考： 例 1 求矩阵 的乘积 AB、 BA 及 AC. 例 2 设 求 AB 与 BA . (1) 矩阵乘法不满足交换律. 左乘 B”或“B 右乘 A”. 在作乘法时, 应指明它们相乘的次序. AB 读作“A （一） 与“数的乘法”不同之处 矩阵乘法的运算律 (3) 矩阵的乘法不满足消去律, 即如果 例如 AB = CB, B ? O, 不一定能推出 A = C. (2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵. 例如 即AB=O / A = O或B = O。 BA = BC （二）与“数的乘法”相似之处 (1) Ok×mAm×p=Ok×p , Am×pOp×n=Om×n ; (2) (5) k(AB) = (kA)B = A(kB). （数乘结合律） (B + C)A = BA + CA; （右分配律） (4) A(B + C) = AB + AC,（左分配律） (3) (AB)C = A(BC); （结合律） 例 3 设矩阵 试求出所有与 A 可交换的矩阵. 由矩阵乘法满足结合律，可得到方阵的幂. 设 A 为 n 阶矩阵，对于正整数 m，记 Am = AA ? A m 个 规定 A0 = E . 设 k , l 为任意非负整数，则有 AkAl = Ak + l , ( Ak )l = Akl 称之为 Ａ 的 m 次幂。 引申出方阵的多项式