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第一章　行列式 ( 要点和公式 ( 1 全排列及其逆序数、对换 ( 排列的逆序数=各元素的逆序数之和. (一个元素的逆序数是指排在其前面大于它的元素个数) ( nn!，其中奇、偶排列各占一半。 ( 一次对换改变排列的奇偶性。 2 行列式 ( n阶行列式的定义： 或 或 ( 行列式的性质： ⑴ D=DT ⑵ ⑶ 以下都是行列式等于零的充分条件： ①两行(列)完全相同； ②某一行(列)的元素全为零； ③两(列)的元素对应成比例. ⑷ 若行列式的某一行(列)元素都是两数之和，则行列式可分解为两个行列式之和. ( 行列式按行(列)展开法则 或　　(i=1,2,…,n)(其中，D是原行列式的值) ( ⑴ 对角行列式 / 上三角行列式 / 下三角行列式 (1-2) ⑵ (1-3) (1-4) ⑶ 分块对角行列式 / 上三角行列式 / 下三角行列式 ⑷ (1-6) 以上两式中，分别是k阶、m阶行列式⑸ 范德蒙德行列式 ( 克拉默法则: 对于n个变量n个方程的线性方程组 简记为 (i=1,2,…,n) 若系数行列式D(0，则方程组有唯一解： (i=1,2,…,n) 其中Dj是用方程组的常数项b1, b2, …, bn替换系数行列式D的第j列得到的行列式。 ( 定理：对于非齐次线性方程组 (i=1,2,…,n) ⑴ 方程组有唯一解 系数行列式D(0； ⑵ (等价命题) D=0. ( 定理：对于齐次线性方程组 (i=1,2,…,n) ⑴ 方程组只有零解系数行列式D(0； ⑵ (等价命题)(除零解外) D=0. ( 典型题型 ( 1 全排列的逆序数因为每次对换都会改变排列的奇偶性1 计算排列134782695的逆序数，并判断奇偶性 解 逆序数t(134782695) = = 10 该排列为偶排列. 例2 以下排列中( )是偶排列。 (A) 4312 (B) 51432 (C) 45312 (D) 654321 [分析 对于4312，将4和右边的元素进行相邻对换，直至其排在第四位，需3次相邻对换；再将3和右边的元素进行相邻对换，直至其排在第三位，需2次相邻对换. 于是，经过总计5次相邻对换，可使4312变成标准排列1234，因此4312是奇排列。 对其它选项可作类似分析。 解二 逆序数 同理，t (51432)=7，t (45312)=8，t (654321)=15.　 ( 答案为(C). [练习1] 求排列13…(2n-1)24…(2n) 的逆序数, 并讨论奇偶性. [答案] t=n(n-1)/2 当n=4k,4k+1时，为偶排列；n=4k+2, 4k+3时，为奇排列…pn-1pn的逆序数为k, 则pnpn-1…p2p1的逆序数为多少？ 解 在n个元素中任选两个元素pi , pj (共有种可能)，则pi , pj 必在两个排列之一中构成逆序，因此两个排列的逆序数之和为. ( 例4在六阶行列式中，如下的项带什么符号：a23a31a42a56a14a65 解一 调换项中元素的位置，使元素的行标排列变成标准排列，即 a14a23a31a42a56a65 再求出列标排列的逆序数，t(431265)=6，故该项带正号. 解二 分别求出行标排列和列标排列的逆序数 t1 (234516)=4 t2 (312645)=4 由于t1+t2=8，故该项带正号 例5 写出五阶行列式中包含因子a13a25且带负号的所有项 [分析] 设项为a13a25a3ia4ja5k，显然ijk是124的某个排列，共有六种可能性，其中有三种使乘积带负号，三种使乘积带正号。 不妨设下标ijk = 124，此时，列标排列的逆序数为t(35124)=5，是奇排列，于是该项带负号。 再对124进行两次对换(这不会改变整个排列的奇偶性)，可得ijk的另两组使项带负号的取值: 412, 241。 [答案] -a11a23a32a44 -a12a23a34a41 -a14a23a32a41 例中x4和x3的系数. [分析] 从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能值，并注意每一项的符号设行列式的一般项为求x4和x3的系数就是求有4个3个元素含x时的项。 ⑴若4个元素皆含x，各行元素的列标可取如下值： p11 p2: 1, 2