三重积分在直角坐标系下交换积分次序的研究.pdf

2014年第 2期 吉林省教育学院学报 No．2，2014 第3O卷 JOURNALOFEDUCATIONAL INSTITUTEOFJILIN P】RIV CE VoL30 (总350期) TotalNo．350 三重积分在直角坐标系下交换积分次序的研究 赵彦军 (长春大学旅游学院，吉林 长春 130607) 摘要：三重积分是多元函数积分学的重要 内容，三重积分交换积分次序是三重积分中的难点和重点．二重积分在直角坐 标系下交换积分次序 ，只需把积分区域看成 型或l，型即可，而三重积分的积分区域是空间区域，往往很难想象，因此借助画 出积分区域的空间图形来完成三重积分在直角坐标系下交换积分次序通常是不可行的，需要新的方法解决这一问题，本文给 出解决此 问题的一种方法。 关键词：积分次序；轮换；轮换定理 中图分类号：0172．2 文献标识码：A 文章编号：l671—158O(2O14)o2—O15l—02 三重积分交换积分次序，通常采用的方法，是 ABcD —+ABDC —+BADC—+BDAC—+DBAC ． 根据所给三次积分的积分限画出积分区域 的空间 三重积分换序轮换定理：对于任意给出的三重 图形，然后根据 V的形状按要求积分次序写出新的 积分的积分次序 (例如：先 ，再 ，，，最后 ，记为 三次积分，这种方法比较直观易懂，但由于积分区域 xyz)，总可以通过不超过 3次轮换变为指定的积分 是空间区域，往往很难想象，画出空间立体图形更非 次序 (例如：xzy，yxz，yzx，zxy，zyx)，在交换两个 易事。 变量的积分次序时，第三个变量按常数处理。 本文根据三重积分与二次积分的关系，得出一 具体作法如下： 种将交换三重积分次序转化为交换二重积分次序 记已给出在直角坐标下的三重积分 (不超过3次)的方法——三重积分换序轮换定理， ，= ，)dxdydz 从而将在空间区域内实施的问题转化成了在平面区 域内实施，从而避免了画空间立体图形的难点，实现 = 姚 ㈩ ayl(x 了化难为易。 根据三重积分与二次积分的关系，(1)可化为 一 、 三重积分换序轮换定理 定义：在排列中，相邻两个文字或字母交换一次 l=dxlazl x，y，dy 位置，称为一次轮换，简称为轮换。 (在yoz平面上交换积分次序，被视作常数) 引理：在一个文字或字母互异的排列中，总可以 (2) “’ ’ 通过有限次文字或字母的轮换，从此排列变到另一 ， = 如 ) ，，，，) (在 平面 广r雹 广 , ／Zl(y) J Zl(Z,y 个排列。 上交换积分次序)