与Schrodinger算子相关的Riesz变换交换子在Herz空间的有界性.pdf

第28卷第3期 青 岛大学学报 (自然科学版 ) Vo1．28No．3 2015年 8月 JOURNALOFQINGDAOUNIVERSITY (NaturalScienceEdition) Aug．20 15 文章编 号 ：1006—1037(2015)03—0001—04 doi：lO．3969／j．issn．1006—1037．2015．08．01 与 Schr6dinger算子相关的Riesz变换交换子 在 Herz空问的有界性 柴 艳 ，赵 凯，周 婷 ，王丽丽 (青岛大学数学科学学院，青岛266071) 摘要 ：借助与 SehrOdinger算子相关的 Riesz变换交换子 的L 有界性结论 ，使用 Riesz变换 的核估计，及 BMO函数空间性质 ，证明了与 SchrOdinger算子相关的Riesz变换和 BMO函 数生成 的交换子在齐型 Herz空间上的有界性 。 关键词：SchrOdinger算子 ；Riesz变换 ；交换子 ；Herz空间；有界性 中图分类号 ：O174．2 文献标志码 ：A 设 P一一△+V(z)是 ”上的可微SchrOdinger算子 ，n≥ 3，其中 (z)是满足反向HOlder不等式的 非负、非零位势，T一 (一△+ ) 是与SchrOdinger算子相关的Riesz变换 。郭子华等Ⅲ证明了由算子 T 和 BMO 函数生成的交换子 [6，T]一bT一丁6的L 有界性 。陆善镇等 证明过齐型 Herz空间上由线性算 子和 BMO函数生成的交换子的有界性 。赵凯等口研究了伴随 BMO函数 的交换子在 Herz型 Hardy空间 的加权有界性 。本文研究与 Schrodinger算子相关的Riesz变换交换子在齐型 Herz空间的有界性 。 1 定义和引理 设 B表示球 ，C表示环。B 一 {z∈ ：l l≤ 2)，C —B ＼B一 ， 一gck，kC- 7／，是 Ck上的特 征函数 。 定义 1 设 0 口 CXD，0 P≤ 。。，0 q≤ 。。，齐型 Herz空间穴：’( )定义如下 ：’( )一{厂∈LL( ＼{o))：ll_厂ll：-c c×3)，；gO_l-厂ll：， ，一{∑2bfl }l￡n)吉。 显然 ’( )一L ( )，Herz空间是 Lebesgue空 间的推广嘲。 定义 2[1 设 1 q CXD，非负局部L 可积 函数 ()称为 ”上属于B。的，若存在 C 0使得反向 HOlder不等式在每一个 上的球B上成立 ( jx)qdx≤c j (1) 可知， (z)∈B ，q 1，则 (z)满足双倍测度 ，即对 Vr 0， ∈ ，有 r r l ()ely≤Co I ()dy (2) B ( ．2，) B( 引理 1_1] 设 V(z)∈B。，q≥n／2，6∈BMO( )，T是与 SchrOdinger算子相关 的Riesz变换 ，则对 q≤ P 。。，有 ll[6，T]fl{ ≤CllblleM。 }l厂llLp( 引理2[1_ 设 (z)∈B。，q≥n／2，设 N logC。+1，其中C0是式(2)中常数 ，则对 Vz。∈ ，R 收稿 日期 ：2015-01-21 基金项 目：国家 自然科学基金(批准号 资助 。 通讯作者 ：赵 凯 ，男 ，博士 ，教授 。主要研究方 向：调和分析及其应用 。E-mail：zhkzhc@aliyun．com