与Schrǎdinger算子相关的交换子的L-p-有界性.pdf

数学物理学报 http：／／lactams．wipm．ac．cn 与SchrSdinger算子相关的交换子的 p一有界性 陈冬香 陈雪梅 (江西师范大学数学信息学院 南昌330022) 摘要：设 H2= (一△)+V ，其中 满足反向HSlder不等式．该文建立了算子 日 ， V ， 。 和它们的交换子的 Lp有界性．此外还证明了 。 HiV 也在 BMOL 奄 ． 关键词：BMOL( )；交换子；SchrSdinger算子；反向HSlder类． MR(2010)主题分类：42B25；42B30 中图分类号：O174．2 文献标识码：A 文章编号：1003—3998(2016)05—832—16 1 引言和结果 考虑如下SchrSdinger型算子 = (一△)+V。，X∈ ， 其中 是非互位势且属于某一反向HSlder类 ，等 qn． 当 y(x)为非负多项式时， Zhong[】考虑如下 SchrSdinger算子 H1= 一A+V 及 H2．Zhong建立了关于算子 H1和 的基本解的估计并证明了如下算子 (J=0，1，2，3，4)和 日 ，V 日f (∈N)是 p上的有界算子． Shen0[1推广了Zhong关于 日1的结果，此时 属于反向HSlder类，而此函数类包含非 负多项式．事实上Shen建立关于算子 日1基本解的估计且证明了 日 ， {VH1，0日f 是 Lp上的有界算子． Kurata和 Sugano研究了 SchrSdinger型算子 ，并建立了关于算子 日2基本解的估 计．此外他们还证明了算子 V J／。J日 (J：0，1，2，3，4)是 上的有界算子．同时进一 步证明 是 CalderonZygmund算子，详见文献 [3-6]． 近来，关于与 Schr6dinger算子H1和 相关的Riesz变换及其交换子的有界性，涌现 了许多令人感兴趣的结果详见参考文献 l『，7-9]等． 受文献 [1-2，8]的启发，本文将研究将研究算子 ：VV ，T2= 3iv爿2， = V =V 和它们的交换子 [b，]，[b，T2]的 p有界性，其中b∈BMO．此外 还将讨论算子 ， 在BMOL空间上的有界性． 收稿 日期：2015—12—13；修订 日期：2016—06—07 E—mail：chendx020@aliyun．com 基金项目：国家自然科学基金 11401269和江西省自然科学基金 (2014BAB201003)资助 SupportedbytheNSFC 11401269andtheNaturalScienceFoundation ofJiangxiProvince(2014BAB201003) No．5 陈冬香等：与SchrSdinger算子相关的交换子的 一有界性 833 为方便起见，首先给出一些定义和符号． 设y(x)为 上的非负局部Lq(1qOO)可积函数，如果存在常数C0使得如下 的反 向HSlder不等式 ( d) ， 对于所有的Bc 成立，称 V(x)属于 ． 对于ql q21，由HSlder不等式有BqcB Bq类的一个重要性质：若V ∈Bq，q1， 则存在仅与 n和 (1．1)中的常数 有关的 e0使得 V ∈B+ (参见文献 [3])．如果 V∈B。，q1，则V(x)dx是满足双倍性质，即对于任意