两个相乘可交换的广义投影算子和超广义投影算子线性组合的M-P逆.pdf

第34卷 湖北师范学院学报 (自然科学版) Vo1．34 第3期 JournalofHubeiNormalUniversity(NaturalScience) No．3，2014 两个相乘可交换的广义投影算子 和超广义投影算子线性组合的 一尸逆 周 良，罗高骏 (湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石 435002) 摘要：研究了两个相乘可交换的广义投影算子和超广义投影算子线性组合的M—P逆 ，给出了两个相乘可 交换广义投影算子和超广义投影算子A，曰的线性组合 + 的M—P逆的计算公式． 关键词：广义投影算子；超广义投影算子； —P逆 中图分类号：0151．21 文献标识码：A 文章编号：1009-2714(2014)03．0074．05 doi：10．3969／j．issn．1009—2714．2014．03．017 1 引言与预备知识 矩阵的广义逆是矩阵理论中一项极为重要的理论，近年来，关于广义投影算子和超广义投影算子 的性质的研究迅速发展．在[1]中Grol~J，TrenklerG首先提出了广义投影算子和超广义投影算子的 概念，并研究了它们的基本性质．近年，广义投影算子和超广义投影算子的研究成为广义算子论的热 点；广义投影算子的线性组合的一些特征在[3]、[6]中被研究；在 [4]、[7]中StewartGW，Baksalary 0M，BenitezJ找到广义投影算子和超广义投影算子的一些有趣的性质；在[2]、[8]中BaksalaryJK， Baksalary0M得到广义投影算子和超广义投影算子的进一步结果；而在最近的研究中([9])，Tosic M，Cvetkovic一!licDS给出了两个相乘可换的广义投影算子和超广义投影算子线性组合 以 + 逆 的计算公式．本文在这些结论的基础上，根据矩阵和广义投影算子的性质([1O]、[11])给出了两个相 乘可交换的广义投影算子和超广义投影算子A， 的线性组合 +6 的M—P逆的计算公式． 在本文中，恒用C表示复数域，C 表示C上的所有n阶方阵组成的集合， 表示 阶单位阵， c 表示所有n阶广义投影算子(A =A )所组成的集合，c 表示所有 阶超广义投影算子(A =A )所组成的集合，用 c 表示所有n阶酉矩阵组成的集合．对于A∈C ，A 、A’，r(A)分别 表示A 的M—P逆、共轭转置、秩，p(A)表示A的谱，即A的所有特征值组成的集合 设A∈C “，若 ∈C 使得以下四个矩阵方程成立 AXA=A，XAX= ，(AX) =AX，(XA)’=XA 则称 是A的 一P逆．用A 来表示A的M—P逆．容易证明，A的M—P逆存在且唯一．(参见 [10]) 为了证明的需要，首先给出以下引理． 引理 l… 设A∈c ，r(A)=r，则存在酉矩阵u，使得A=U(K~O)U’且 是r阶对角阵， = 一 1 ． ． ，p(A)={0，1，s，占}，8=——三 ，s=1． 收稿 日期：2013—12—26 作者简介：周良(1989一 )，男，湖北大冶人，硕士研究生，主要研究方向为矩阵分析 · 74 · 引理2… 设A∈C ，r(A)=r，则存在酉矩阵U，使得A=U(TO0)U’，且r是r阶上三角阵， =，，，p(A)={0，1，8， }，=二 ，s。：1． 引理3¨训 凡阶正规矩阵A是可酉对角化矩阵，且对角元是A的特征值 两个正规矩阵可同时酉对 角化当且仅当它们相乘可交换． 引理4u ，l阶正规矩阵A有分解A=Udiag(A。，A，…，A)U。， 其中U为n阶酉矩阵，p(A)：{A， 。 ’ ag( … ，其中 l’2，…吐 A