两无穷区间上积分交换次序充分条件的改进及其应用.pdf

第29卷第 1期 四川理工学院学报(自然科学版) Vo1．29 No．1 2016年 2月 JournalofSichuanUniversityofScience＆Engineering(NaturalScienceEdition) Feb．2016 文章编号：1673—1549(2016)01-0087-06 DOI：1O．11863／j．suse．2016．01．18 两无穷区间上积分交换次序充分条件的改进及其应用 邢家省 ，杨小远 ，白 璐 (1．北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京 100191；2．数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191) 摘 要：考虑两无穷区间上的积分交换次序定理的充分条件 问题，指出了数学分析中经典定理的充 分条件的不足和局限性、适用范围有限、解决问题困难等 问题 。对经典的充分条件在表述条件上给予改 进，并运用数学分析中积分控制收敛定理给予证明，达到了数学分析中应有的理论高度，从而得到新结 果。通过实例 比较，使用新的积分交换次序定理更方便于验证条件 。 关键词：无穷区间上的积分交换次序定理；合参变量广义积分；内闭一致收敛性；比较判别法；控制 收敛定理 中图分类号：O177．2 文献标志码：A 两无穷区间上的积分交换次序定理 ¨ 是数学分析 ，(，u)在 [。，+∞)×[Ot，+∞)上连续，如果满足下列 中的重要结果，在文献 [I一7]中，给出了两无穷区间上 条件： 的积分可交换积分次序的充分条件和证明过程。发现 (1)对任何卢 ，积分J ，)dx关于u在区间 数学分析中的积分交换次序定理的经典充分条件在实 际问题中很难满足 ，对许多不满足此充分条件的函数不 [Ot，卢]上一致收敛，对任何b口，积分J ，u)du关 能直接利用 j，对有些函数验证满足经典充分条件也 于 在 [。，b]上一致收敛。 繁琐 ¨引。将经典的充分条件给予改进，在广泛的充分 (2)积分JJduJf0J ，)Idx，JJndxJJalfl )fdu中至 条件下给出积分交换次序定理的结果，得到最好的理论 +∞ +∞ +∞ ^+ ∞ 表现形式，并且在导出结果的过程中没有增加任何理论 少有—个存在，那么积分JduI，(，u)，Idxj ，u) JOt J口 JⅡ Jd 难度，利用新的表述结果可 以更方便解决一批函数的积 +∞ +∞ ，+∞ +∞ 都存在，而目相等，即JJdxJ ，u)du=Iduf ，“)。 分计算问题。经典的积分交换次序定理中充分条件的 d J J＆ Ja 局限性问题在文献 [2，8]中已探讨，由于直接套用很困 定理 1是标准数学分析教材 中的经典结果 ¨引。 难，因而采用其他复杂的解决方法，其实，可以将原有理 可以发现，定理 l中充分条件 (1)是苛刻的，对有些函 论结果发展，达到数学分析学中应有的理论高度和广泛 数的验证很困难，有些函数也不满足此条件 ，不能直接 适用性。 套用此定理。可以将定理 1中的条件 (1)改进为一般