中心较大的极小非p交换p群.pdf

云南民族大学学报：自然科学版，2016，25(3)：230—233 CN53—1192／N ISSN 1672—8513 doi：12．3969／j．issn．1672—8513．2016．03．008 http：／／xb．ynni．edu．ca 中心较大的极小非P交换P群 张巧红 (长治学院 数学系，山西 长治 046000) 摘要：设 (G)为有限群G的P中心，则I(G)：z(G)l≥p．给出了I(G)：Z(G)l=p的极小非P 交换P群的分类． 关键词：P交换P群 ；p中心；正则P群 中图分类号：O152．1 文献标志码：A 文章编号：1672—8513(2016)03—0230—04 称有限P群G为P交换P群，若对任意的0，b∈G，恒有(ab) =aPbp【．在有限P群的研究中，P交换P 群是有限P群中 “接近交换群”的一个重要群类．为了研究有限P群的P交换性，在文献[2]中Hobby提出了 P换位子及P换位子群的概念，文献 [3]中徐明曜提出了P中心的概念．有限P群G称为极小非P交换群，若 群G本身非P交换，但其所有真子群及真商群都P交换…．文献[4]中给出了极小非3交换3群的分类．若 P3，要分类所有的极小非P交换p群是非常困难的．本文继续对有限P群的P交换性进行研究，给出了当 I (G) (G)l=P时极小非P交换P群的分类． 若P=2，2交换2群即交换群，此时 (G)=Z(G)，故下面均假设P为奇素数．称有限P群G为c群， 如果 G有一个指数为P的循环子群，但 G的所有指数为P 的子群都不循环． 1 预备知识 定义 1[2 设 G为有限P群，对任意的n，b∈G，定义n，b的P换位子为6呻。呻(06)，记作[o，b]． 定义2[3 设G为有限P群，称 (G)：([0，b]，[b，口]，Vn，b∈G)为群G的P导群，称 (G)= {g ∈GJ[g，] =[，g] =1，V ∈G}为群 G的P中心． 引理 1E1] 设 G为二元生成有限亚交换P群，则G为P交换P群当且仅当exp(G)≤P且 c(G)P． 引理2[5 设 G为有限P群．则G为极小非P交换P群当且仅当下列条件成立： 1)d(G)=2； 2) (G)= (G)； 3)6(G)为G的唯一的极小正规子群． 卜 1 ，一I 引理3C 设G是亚交换群，口，b∈G．对于任意的正整数 ，，设[，]：[0，b， 口，一6]， 则对于任意的正整数m，n，[0，6]=nn[ia，弘]¨n． I 1 J 1 引理4 设G是亚交换群，0，b∈G，m≥2则有(ab)=0兀 [ia，jb]m+‘J’b～，m≥2． i ≤m 引理 5 设P为奇素数，G是亚循环P群，则有G兰 (0，bl0 =1，b = ，[0，b]=aPr)． 其中r，s，t，u为非负整数，且满足r≥1，“≤r，对于参数r，s，，“的不同取值，对应的亚循环群互不同构． 引理6 ’ 设 lG1=P”，exp(G)=P，其中P≥3，n≥4．则G为下列互不同构的群之一： 收稿 日期：2015—09—06． 基金项 目：山西省高等教育质量和水平提升工程教学项 目(J2015111) 作者简介：张巧红(1980一)，女，硕士，讲师．主要研究方向：群论． 第3期 张巧红：中心较大的极小非P交换P群 231 1)G=(口，6，cI =1，b =1， =1，[0，b]= [口，c]=[b，c]=1)； 2)G=(0，bln ‘=1，b =1，[口，b]’=1)； 3)G=(口，6，CI口P=1，6p=1，cp=1，[口，b]：口～，[C,／，c]= [6，C]=1)； 4)G=(0，b，c10 ：1，b =1， =1