4.5线性方程组解结构.pdf

n元线性方程组AX=0 的求解步骤（先求通解再求基础解系）： 1）将系数矩阵A化为行阶梯形，求出R(A) 2 ）若R(A)=n ，则只有零解 若R(A)n ，转3 ） 3 ）将系数矩阵的行阶梯形继续化为行最简形，并 据此写出同解方程组，将行最简形中每行的首非零元所 在列对应的未知数放在方程等式的左边，将其余的未知 数都移到方程等式的右边，并作为可任意取值的参数， 然后写出带参数的通解。 称这些未知数为自由未知数 一．齐次线性方程组AX 0 解的结构 AX 0 １．齐次线性方程组 解的性质 性质１ 如果v ,v是齐次线性方程组AX 0 的解，那么 1 2 v v 也是AX 0 的解。 1 2 性质２：如果 是齐次方程组AX 0 的解，c为任意常数， v 则cV 也是方程组AX 0 的解。 推广： 如果v ,v , ,v 是齐次线性方程组AX 0 的 1 2 r 解，那么其线性组合c v c v  c v 也是方程 1 1 2 2 r r 组AX 0的解．其中c ,c , ,c 都是任意常数。 1 2 r ２．基础解系及全部解 定义3.6 设齐次线性方程组AX 0有非零解，如果v ,v , ,v 1 2 t AX 0 是齐次方程组 的解向量，并且 ①v ,v , ,v 线性无关 1 2 t ②AX 0 的任一解向量都能由v ,v , ,v 线性表示。 1 2 t 则称v ,v , ,v 是齐次线性方程组AX 0的一个基础解系。 1 2 t 实际上，齐次线性方程组AX=0 的一个基础解系就是AX=0 的全 体解向量构成的向量组的一个最大无关组，只是换了一个名字 而已。 若V ,V ,…,V 为AX=0 的基础解系，则AX=0 的通解可以表 1 2 t 示为V= k V +k V +…+kV 1 1 2 2 t t 定理 如果n元齐次线性方程组AX=0 的系数矩阵A 的 秩R(A)n，则方程组AX=0 的基础解系存在， 它由n-R(A) 个解向量组成。 换句话说，当R(A)n时，AX=0有无穷多个解，所有解构 成一个向量组（这是一个无穷向量组），该向量组的秩是 n-R(A) 。 回顾：如果一个向量组的秩是r ，则向量组中任何个数等于r