5.第三章 线性空间及线性变换.ppt

例2. 设 T 为R3上的变换， 下的矩阵. (2) 求 T 在基 (1) 证明： T 为 R3上的线性变换； (3) 求T 的象和核 线性变换的核与像 * 定理： * 3.7 不变子空间 定义: 设V 是线性空间，W是V 的子空间， T 是V上的线性变换，若 ?a?W , 都有T(a)?W, 则称W是V的T不变空间。 例 设T 是线性空间V上的线性变换，则 ImT , KerT 是T 不变空间； * 例4 设 (1) 证明 (2) 求 f 在这组基下的坐标。 定理: 设W 是 n 维线性空间V 的子空间，dimW = m， a1, …, am 为W 的一组基，则存在n-m个V 中向量 am-1, … an 使得a1, … am , am-1, … an 成为V 的基. 定理(维数公式): 设V1, V2 是线性空间V 的子空间，则 例5 设V1, V2 是n维线性空间V 的子空间，若 则V1, V2 中必有非零的公共向量。 3.3 基变换与坐标变换 定义: 设V 是一个线性空间，a1, a2, … an∈V b1, b2, … bn∈V 为V 的两组基，若 【基变换公式】 的 则 P 称为由基 到基 【基变换公式】 转移矩阵（或过渡矩阵），其中 * 例3 设 是 中的两组基，求由基 到基 的转移矩阵P ； * 基变换公式 P 是由基 到基 的转移矩阵 P 定理: 设V 是线性空间，a1, a2, … an , b1, b2, … bn 是V 的两组基，P 是由基a1, a2, … an到b1, b2, … bn 的 过渡矩阵，则 是由 x 到 y 的坐标变换公式，其中 * * 例4 设 是 中的两组基， 下的坐标 在基 下的坐标。 向量是 ，求 在基 * * 例5 设 是R2 × 2中的两组基，求 到基 的过渡矩阵P (1)由基 (2) 在基 下的坐标. * * 例6 设线性空间R[x]3 的二组基分别是 3.4 子空间的直和 定义：设V1, V2 是线性空间V 的子空间，若对每个向量 a?V1+ V2 都有唯一的分解式 则称V1与V2 的和V1+ V2是直和，记作 V1? V2 。 例1. 线性空间R3的子空间 求 Rx? Ry ，Rx? Ryz 。 定理：设V1, V2 是线性空间V 的子空间，则下列命题等价 (2) 向量 0 的分解式是唯一的； (4) V1的一组基与V2 的一组基的简单并是V1+ V2的基； (1) V1与V2 的和V1+ V2是直和; (3) V1 ∩ V2 = {0}; (5) dim(V1+ V2) = dimV1 + dimV2 。 例2. 设 定理：设U 是线性空间V 的子空间，则存在V 的 子空间W，使得V = U? W。 称W 是U在V中的直和补。 3.5 线性变换 定义 设V 为线性空间， V 上的变换 T : V →V 若满足 则称 T 为 V 上的线性变换。 例1. 设T 为R2上的线性变换， T : R2→R2 T (a) = a ′ （如图） T 把向量 a 绕原点逆时针 旋转 q 角度变换为a ′ 。 x y O a a ′ q 称T为旋转 变换。 例2. 设T 为R3上的线性变换， T : R3→R3 例3. 设T 为 上的线性变换， 其中矩阵A是 n 阶方阵. 线性变换的性质：设T是V上的线性变换，则 定理: 设V 是线性空间，a1, a2, … an 是V 的一组基， b1, b2, … bn ?V , 则存在V上唯一的线性变换T , 使得 T(ai) = bi , i = 1, 2, …, n 3.6 线性变换的矩阵 定义 设 T 为 V 上的线性变换，a1, a2, … ,an为 V 的基 A 称为T 在基 a1, a2, … ,an 下的矩阵. * A 例1. 设 T 为 上的线性变换， ， 求 T 在基 下的矩阵. 解： 初等因子组: Graduate Engineering Mathematics Graduate Engineering Mathematics 同济大学数学系 2009-3-22 工科研究生数学 --矩阵论第 3 章 线性空间与线性变换 吴 群 同济大学数学系 wuqun@tongji.edu.cn 3.1 线性空间的基本概念 * 定义：设 V 是一个非空集合，F 为数域，a, b, g ? V, 对于任意的