交换半环中理想的实根.pdf

第 38卷第 2期 南昌大学学报 (理科版) Vo1．38NO．2 2014年 4月 JournalofNanchangUniversity(NaturalScience) Apr．2014 文章编号 ：1006—0464(2014)02—0103—04 交换半环 中理想的实根 曾小宁 ，肖水晶 (1．广东第二师范学院数学系，广东 广州 510303；2．南昌大学数学系，江西 南昌 330031) 摘 要 ：在交换半环范畴中引进和研究理想的实根 ，从而将实代数学 中有关结果推广到交换半环上 。如下结果被 建立：在半环中，一个理想的实根恰等于包含该理想的所有实理想的交集 ，并也恰等于包含该理想的所有实素理想 的交集 。此外，形式更为一般的理想的实根一一广义实根被考虑 ，并获得相应 的结果。 关键词 ：半环 ；实理想 ；实素理想 ；实根 ；广义实根 中图分类号 ：O153 文献标志码 ：A Realradicalsofidealsin commutativesemirings ZENGXiaoning，XIAOShuijing (1．DepartmentofMathematics，GuangdongUniversityofEduction，Guangzhou510303，China； 2．DepartmentofMathematics，NanchangUniversity，Nanchang330031，China) Abstract：Thenotionofrealradicalsofidealswasintroduced in thecategory ofcommutativesemirings． Similartothecategoryofcommutativerings，thefollowingresultwereestablished：Therealradicalofani— dealinacommutativesemiringwastheintersection ofrealideals，with thisidealbeinginclusive，andalso wastheintersectionofrealprimeidealscontainingthisone．M oreover，akindofgeneralizedrealradicalsof idealswasinvestigated toointhecategoryofcommutativesemirings，andthecorrespondingresultwasob- tained． Keywords：semiring；semirealideal；realideal；realprimeideal；realradical；generalizedrealradical 实代数理论可看作交换代数与实域论相互交 在文献[4]中曾针对交换环的 “实性”提出如次两种 叉 的一 门学科 ，它的发展可追溯到德国代数学家 E． 选择 ：一是 “一 1不能表为环 中元素的平方和”；另一 Artin在 1926年对著名的Hilbert第 17问题的解答 。 是 “零元 0不能表为环 中非零元的平方和”。其后， 为解决Hilbert第 17问题 ，E．Artin和 O．Schreier把 T．Y．Lani在文献Es]中把满足第一种 “实性”的交 实数域特有的 “0不 能表为有 限个非零实数的平方 换环称为 “半实环”，而满足第二种 “实性”的交换环 和”这一属性引进到域范畴中，首次给出 “实域”的 被称为 “实环”。由于 “理想”是交换环理论 中最基本 定义，由此建立 了著名 的 Artin--Schreier理论 。 的代数子结构，从而交换环 中理想 的 “实性”必然引 Artin--Schreier理论是实域论的基石 ，其 内容可见 起人们的关注，以致产生所谓的