交换可剩余半群的剩余BCI-代数.pdf

第 47卷第4期 东 北 师 大 学 报 (自 然 科 学 版 ) Vo1．47No．4 2015年 12月 JournalofNortheastNormalUniversity(NaturalScienceEdition) December2015 [文章编号]1000—1832(2015)04—0022—04 []301310．16163／j．cnki．22一I123／n．2015．04．005 交换可剩余半群的剩余 BCI一代数 杨 闻 起 (宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013) [摘 要] 引入 了交换可剩余半群的剩余 BCI一代数的概念并讨论 了其性质，表 明了交换可剩 余半群与BCI一代数的关系，得到了全序半群的剩余 BCI一代数是BCK一代数，序半群是平凡的当 且仅 当其剩余BCI一代数是P一半单的．还给出了交换可剩余半群与其剩余BCI一代数 的理想和滤 子之 间的关系． [关键词] 序半群；交换可剩余半群 ；BCI一代数 ；理想；滤子 [中图分类号] 0153．1 [学科代码] llO·21l5 [文献标志码] A 1 预备知识 序半群是半群结构与序结构相互交融的产物，可剩余半群是一类重要的序半群．文献Eli系统地论 述 了序半群理论． 定义 1n] 设 S是半群 ，“≤”为 S上的偏序 ，Vn，b，c∈S，如果当n≤6时，必有 nc≤bc，ca≤cb， 则称 s为序半群 ，记为(S，≤，·)，在不致混淆时，也简记为 S． 定义2[1 设 z，Y是序半群s中的元素，如果集合{z∈SIz≤j，)，{z∈SI ≤ )非空，且有最大 元 ，则这个最大元分别叫作 Y关于 ．27的左剩余和右剩余 ，并分别记为 Y：z和 ：：z．如果对 S中的任 意两个元素都有左剩余和右剩余 ，则称这个序半群为可剩余半群． 在交换序半群中，左剩余与右剩余等价，故在交换剩余半群中，把左、右剩余统称为剩余．另外，根据 本文的需要 ，把交换半群中的乘法改写为加法 ，那么有下面的结论． 引理 1L】 在交换可剩余半群 S中，VX，Y，∈S，有以下公式成立 ： (1)( 。 )+z≤Y，3，≤ (+ )： ，≤ ：(z 。 )； (2) ( 3，)。 —z ：( + )，(z 。 )。 一 (z )。 ； (3)(z。 )+z≤ (+ ) Y； (4)口≤6 Vz∈S，有 a：z≤6： ，z：6≤z：a． 在交换可剩余半群 (S，+ ，≤)中，如果存在元素0，使得 VX∈S，有 O+x=x+0===z，则称 0为零元． 设 m∈S，如果V ∈S，由 ≤z可推出z：m，称 m是 S中的极大元． 零元是极大元的交换可剩余半群是一类重要的序半群，文献[2—3]从不同的角度研究了它的性质． 为叙述方便，本文把零元是极大元的交换可剩余半群记为(s，+，≤，O)，0表示零元，它同时还是一个极 大元． BCI一代数是一类重要的逻辑代数 ，文献[4]系统地论述了相关理论． 定义3[4] 设集合 X上有运算 *及常元 0．V ，Y，2∈X，如果： (1)((z* )*(z* ))*(2*y)：0， [收稿 日期] 2014—05—05 [基金项 目] 陕西省 自然科学基金资助项 目(2OlOJMlO16)；陕西省教育厅专项基金资助项 目(14JKlO5O) [作者简介] 杨闻起(1962一)，男，教授，主要从事代数学研究． 第 4期 杨 闻起 ：交换 可剩余半群 的剩余 BCI一代 数 23 (2)32*0一 z， (3)z* —O且 * —O z— ． 则称 x是一个 BCI一代数 ，记为 (X，*，0)，简记为 x．如果 BCI一代数x还满足 (4)0*z=0， 则称 x是 BCK-代数． 在 BCI(BCK)一代数X 中规定z≤ z*j，一0，那么 “≤ 是X上 的偏序 ，叫作 x 的自然偏序 ，且 0 为