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计算材料物理 第三章蒙特卡洛方法1 蒙特卡洛(Monte Carlo)  摩纳哥面积约为2平方公里，是世界上第二小的国家 蒙特卡洛(Monte Carlo)  蒙特卡洛与拉斯维加斯、澳门并称世界三大赌城 蒙特卡洛方法  蒙特卡洛方法是一类利用重复随机抽样来计算结果 的算法；  1930年代Enrico Fermi 最早提出类似思想；  1940年代Stanislaw Ulam 与John von Neumann提出 随机抽样方法来处理核武器研究( 曼哈顿工程, Manhattan Project) 中的复杂数值积分问题；  John von Neumann 给该方法取名为Monte Carlo 方法， The name is a reference to the Monte Carlo Casino in Monaco where Ulams uncle would borrow money to gamble.  随着计算机技术的发展，Monte Carlo 方法在科学、 工程、金融、通讯、人工智能等领域得到广泛应用。 /wiki/Markov_chain_Monte_Carlo 随机事件和概率  事件：必然事件、不可能事件、随机事件  在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为 随机事件；虽然一次随机试验中某事件的发生具有 偶然性，但大量重复随机试验却呈现规律性 随机 事件的统计规律性；  概率(probability)则是衡量随机事件发生的可能性 的量度  概率的统计定义：在一定条件下重复做n 次试验， nA 为n 次试验中事件A 发生的次数，如果随着n逐渐 增大，频率n /n逐渐稳定在某一数值p 附近，则数 A 值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p ；  对任意事件A ，皆有0≤P(A)≤1 ； 随机变量  随机变量(random variable)是表示随机现象各种结果 的变量。比如掷硬币时，用ξ=1表示硬币正面朝上，用 ξ=0表示硬币反面朝上；又如掷骰子，可以分别用ξ=1- 6表示1-6点朝上。对随机试验的每一个可能的结果, 有 唯一一个实数与之对应；这种对应关系实际上定义了 样本空间W上的函数； w 1 w 2 ξ w W 3 一维随机变量 随机变量  引入随机变量，就是可以设想所有的实验都在实数轴 上进行，也就是设想样本空间W就只是实数轴；  比如掷硬币时，ξ是描述掷硬币试验的随机变量；ξ=1 表示硬币正面朝上，ξ=0表示硬币反面朝上；  掷硬币正面朝上概率可以用P(ξ=1)来表示；  掷硬币反面朝上概率可以用P(ξ=0)来表示；  一般情况下P(ξ=1)=0.5 ，P(ξ=0)=0.5 ；  推广一下，我们可以说  P(ξ0)=0; P(ξ1)=0; P(0ξ1)=0  P(ξ0.5)=? P(ξ2)=?  P{ξ ≤0}=? P{ξ ≤0.5}=? P{ξ ≤1}=? 随机变量和分布函数  设有随机变量ξ ，x 是实数，函数F(x)=P{ξ ≤x}称为随机 变量ξ的分布函数，也称为累积分布函数(cumulative distribution function, CDF); 在投掷硬币实验中，F(0)= P{ξ ≤0}=0.5; F(0.5)= P{ξ ≤0.5}=0.5; F(1)= P{ξ ≤1}=1  对于任意实数x