函数展开成幂级数.pptVIP

揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系. 欧拉公式 作业 P309 习题11-4 作业33 函数展开成幂级数 [end] 上一页 下一页 返回 第四节 函数展开成幂级数 一、函数的泰勒级数 二、函数展开成泰勒级数的条件 三、函数展开成泰勒级数的方法 四、函数展开式的应用举例 一、函数的泰勒级数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 定义 证明 泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 泰勒系数 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 可见 在x=0点任意可导, 三、函数展开成泰勒级数的条件 证明 必要性 充分性 证明 三、函数展开成泰勒级数的方法 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 由于M的任意性, 即得 例2 解 例3 解 两边积分 得 即 牛顿二项式展开式 注意: 双阶乘 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 例4 解 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健: 通过估计余项,确定精度或项数. 1.近似计算 四、幂级数展开式的应用举例 常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例5 解 余和: 解法 逐项积分 展开成幂级数 定积分的近似值 被积函数 2.计算定积分的近似值 第四项 取前三项作为积分的近似值,得 例6 解 收敛的交错级数 例7 解 3.求数项级数的和 复数项级数: 4.欧拉公式 复数项级数绝对收敛的概念 三个基本展开式 上一页 下一页 返回