关于交换环上赋值的完全性一文的两则注记.pdfVIP

第 39卷第 5期 南昌大学学报 (理科版) V0I_39No．5 2015年 1O月 JournalofNanchangUniversity(NaturalScience) 0ct．2015 文章编号：1006—0464(2015)05—0409—02 关于 “交换环上赋值的完全性’’一文的两则注记 戴执 中 (南 昌大学数学系，江西 南昌 330031) 摘 要：将上述论文中之某些结论予以推广。1)设R为一有赋值 的环，口的核是R中一极大理理想 。于是(R， )成为完全赋值环，当且仅当(F，)是完全赋值域，此处F=R／p，是由 所导出。2)设 是环R的一个赋值，其 核为R中极大理想；又设 s为R的整扩环，且又是R上的有限R一模。于是 (1) 在 S上有拓展，设为W，它的核是 S中一极大理想(2)(S，硼)是个完全赋值环 。3)前文定理 4中关于 s的条件可简化为 ：s是R 的一个整扩张，且为 R上的有限R一模 。 关键词 ：似极限；赋值 的完全性 ；环 的整扩环 中图分类号：O153．3 文献标志码 ：A Notesonpaper ‘O‘ncompletevalued-rings’’ DAIZhizhong (DepartmentofMathematics，NanchangUniversity，Nanehang330031，China) Abstract：HerewegeneralizeseveraIresultsofthequotedpaper．1)letR bearingwithvaluationVwhose coreisamaximalidealPinR．Then(R，)iscompleteifandonlyiftherelatedvaluedfield (F，)iscorn— plete，whereF=R／p，isinducedby ．2)Let beavaluationoftheringRwithmaximalioealasitscore； and letSbeanintegralextensionofR ，andalsoafiniteR—moduleoverR．Then．(1) hasprolongationto S，sayW，whosecoreisamaximalidealinS．(2) (S，叫)isacompleteIvaluedring．3)ConditionsonS in Theorem 4ofthequotedpapercanbesimplifiedasfollows：SisanintegralextensionofR，andalsoafinite R—moduleoverR． Keywords：pseuao—limit；complelevalued—ying；algebraicextensionofrings 文EI-I中，作者对具有非浅显赋值的交换环定义 [1]。此外，文中有些证明若已见于[1]中相关之处， 了一种完全性 ，并对 vonNeumann正则环和另一种 则予 以指出而不重述 。 特殊 的环讨论了它们 的完全性及有关性质 。这篇短 定理 1 设环R有赋值 ，它的核P是R 中一极 文 目的有二 ，一是将该文[1]中定理 1，2的内容建立 大理想。于是R关于73成为完全赋值环 ，当且仅当F 在一般的交换环上 ；二是削减定理 4对扩环 S所给 — R／p关于由 所定 出的赋值 是个完全赋值域。 的条件 。 定理中出现的 是E1]中由(5)所定的赋值 。证 本文所论及 的环均为具有乘法单位元 的交换 明同于[1]中定理 1之证 。 环 ，将不再指 明：文 中所使用 的符号和记法全 同于