内交换p群的非正规子群的共轭类数.pdf

第 5O卷第 4期 华中师范大学学报(自然科学版) VoI_5O NO．4 2016年 8月 JOURNALOFCENTRALCHINA NORMALUNIVERSITY(Nat．Sci．) Aug．2016 文章编号 ：1000—1190(2016)04—0486—03 内交换 p群的非正规子群的共轭类数 张慧玲 ，白 颉 (太原学院 数学系，太原 030001) 摘 要 ：研究有限群的非正规子群的共轭类数是群论学 中的一个重要课题．下面借助于 内交换 P 群 的分类 ，对内交换 P群 的非正规子群 的共轭类数进行讨论 ，给 出了 (G)一P、(G)一 P+1和 v(G)一 P+2时内交换 P群 的分类． 关键词 ：内交换 P群 ；非正规子群 ；共轭类数 中图分类号 ：O152．1 文献标识码 ：A 正规子群在研究群的结构中起着重要作用，具 引理2 ([1]，第 53页，命题2．1．2)设 G是幂 有 “较多”正规子群的有 限群 的研究一直是群论学 零类为 2的群 ，，Y，z∈G，则 中的一个重要研究 内容 ，换句话说 ，研究具有 “较 (1)[xy，z]一 [z，z][，z]， 少”非正规子群的有限群的结构成为群论学中的一 [，yz]一 [z，][，2]； 个重要研究方向．v(G)这个符号是由R．Brandl于 (2)Ix”，]一 [z，]一 Ix，Y]； 1995年在文[3]中首次引入 ，它表示有限群 G的非 (3)(xy) 一 Y ，z]( ． 正规子群的共轭类数．显然 ，Dedekind群恰为 (G) 引理 3 ([2]，第 1098页，定理 1)设 G是有限 ==：0的有限群．文E33决定了 (G)一1的有限群 ，文 P群 ，则 (G)一2当且仅当G同构于下列群之一 ： [4]给出了v(G)一 1的有限P群的分类 ，文[5]给 (1)Mz(，2)，其 中 ≥2；(2)D8；(3)Ql6． 出了v(G)一2的有限幂零群的分类 ，文[6]决定 了 引理 4 ([4]，定理 59．1)设G是有限 群，若 v(G)一2的有限群 ，文[7]又分类了 (G)一3的有 G的所有非正规子群都共轭，则 G兰 M (，1)，若 限P群．由于 (G)一 1、v(G)一 2和 y(G)一3的有 P一 2，则 n≥ 3． 限 P群均已分类 ，很 自然地 ，分类 v(G)较小 的有限 引理 5 ([8]，命题 2．5)设 G是 有 限群， P群成为人们关心的一个 问题．下面借助于文[1-I lG 1一P．若H≤G且H篓z(G)，则H G当且 内交换P群的分类 ，对内交换 P群 的非正规子群的 仅当G ≤ H． 共轭类数进行讨论 ，给出 v(G)一P、v(G)一P+1 为了讨论内交换 P群 的非正规子群 的共轭类 和 (G)一P+2时内交换 P群的分类． 数，首先给出3个命题 ： 本文用到一些具体的符号 ，其 中 (G)表示群 命题1设G是有限P群，满足IG：z(G)l— G的秩 ，N。(H)表示 H在G中的正规化子 ，C：表示 P．若H G，则IG：No(H)I—P． 个 P 阶循环群 的直 积，Q (G)表示群 (g ∈ 证 明 结论是显然的． Gjg 一 1，其它符号和术语均是标准的． 命题 2 设G是亚循环的内交换P群 ，若 H 引理 1 (Eli，第 70页，定理 2．3．7)设 G是内 G且d(H)≥2，则H G，即G的每个子群或循环 交换 p群，则 G是下列互不同构的群之一 ：(1)Q。； 或正规．