微分方程第5节习题解.pdf

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2017-06-08 发布于湖北
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第五章线性微分方程组 5-1 5-1 55--11 考虑方程组 x x dxx A x A x = AA(t) xx （1） dt 其中A 是区间上的连续矩阵，它的元素为， A AA(t) a≤ t≤ b n×n a (t),i, j =1,2,⋯, n ij x x x x x x 1）如果xx(t), xx (t),⋯, xx (t) 是（1）的任意n个解，那么它们的朗斯基行列式 1 2 n W[x (t), x (t),⋯, x (t)] ≡W(t) 满足下面的一阶线性微分方程 1 2 n W = [a (t) +a (t) +⋯+ a (t)]W （2）；′ 11 22 nn 2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式： ∫t [ a ( s) +⋯+a ( s)]ds t0 11 nn W(t) =W(t )e , t ,t∈[a,b] 。 0 0 证 1）根据行列式的微分公式 ′ ′ x (t) ⋯ ⋯ x (t) x (t) ⋯ ⋯ x (t) x (t) ⋯ ⋯ x (t) 11 1n 11 1n 11 1n ′ ′ x (t) ⋯ ⋯ x (t) x (t) ⋯ ⋯ x (t) x (t) ⋯ ⋯ x (t) W (t) =′ 21 2n + 21 2n +⋯+ 21 2 n （3） ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ′ ′ x (t) ⋯ ⋯ x (t) x (t) ⋯ ⋯ x (t) x (t) ⋯ ⋯ x (t) n1