函数项级数中的一致收敛与极限运算交换次序.pdf

第 18卷第 3期 鑫 两 HEMATIcs V脚o1．18，锨,No．3 2015年 5月 sTuDIEsI doi：10．3969／j．issn．1008—1399．2015．03．006 函数项级数中的一致收敛与极限运算交换次序 孙 小 强 (1．中山大学 中山医学院，广东 广州 510080； 2．中山大学 数学与计算科学学院，广东 广州 510080) 摘 要 基于逐项取极限定理，从新的视角对函数项级数的分析性质涉及的极限运算交换次序问题及其条件 进行了讨论 ，解释 “一致收敛”为何在函数项级数的极限运算交换中起作用以及在哪一环节中发挥作用．本文讨论 有助于在教学中更清晰地理解函数项级数中的一致收敛与极限运算交换次序 ，深入理解和思考数学的理论性 。 关键词 极限运算交换次序 ；函数项级数 ；逐项取极限；一致收敛 中图分类号 0173 文献标识码 A 文章编号 1008—1399(2015)03—0012—03 On theUniform ConvergenceandExchanging Orders0fLimitOperationsinFunctionalSeries SUN Xiaoqiang ， (1．ResearchCenterofBioinfotreaties，Zhong-shanSchoolofMedicine，SunYat-SenUniversity，Guangzhou510089，PRC； 2．SchoolofMathematicalandComputationalSc ience，SunYat-SenUniversity，Guangzhou510000，PRC) Abstract： From anew pointofview ，thispaperdiscussestheanalyticpropertiesofexchangingordersoflimit operationsinfunctionseriesandtherelatedconditions．Itexplainswhyandwhereuniform convergenceplayscritical rolesinexchangingordersoflimitoperationsinfunctionseries．Theanalysisin thispaperwillhelpthestudents betterunderstandtherelationshipbetweentheuniform convergenceandtheexchangingordersoflimitoperationsin functionseries，andthusmoredeeplyunderstandthetheoriesofmathematics． Keywords： limitsoperation；functionalseries；term byterm limitcalculation；uniform convergence 函数项级数研究中的一个基本问题是 ，在什么 项取极限定理的基础上从新 的视角对上述问题进行 条件下极限(或求导、求积分)运算与无限求和(无 讨论，解释 “一致收敛”为何在 函数项级数的极限运 限求和也可以看作一种极限运算)运算 ，可 以交换 算交换中起作用以及在哪一环节 中发挥作用。 次序 (即逐项求极限、逐项求导、逐项求积分)．直观 1 逐项取极 限定理[] 地可以说 ，这些极限运算交换次序问题都涉及到 “一 致收敛”性 。从教学角度 ，给学生介绍数学