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第三章 向量组的线性相关性与线性方程组 单项选择题 1.向量组线性无关的充分必要条件为( ) A. 均不为零向量; B. 中任意两个向量的分量不成比例; C. 中任意一个向量均不能由其余n-1个向量线性表示; D. 中有一部分向量线性无关. 解: C. 2.均为n维向量,则下列结论正确的是( ) 若则线性无关; 若对任意一组不全为零的数,都有 则线性无关; 若线性相关,则对任意一组不全为零的数, 都有 若,则线性无关. 解: B. 3.线性无关,则以下线性无关的是( ) A. B. C. D. 解: C. 对A中向量有, 对B中向量有, 对D中向量有 对C中向量有 所以选择C. 4.是两向量组, 若存在两组不全为零的实数 使得,则( ) A. 都线性相关; B. 都线性无关; C. 线性相关; D. 线性无关. 解: D. 将已知等式变形得 . 5.设线性无关, 线性相关,则( ) A. B. C. D. 解: C. 由已知得从而 6.设可由向量组线性表示,但不能由(Ⅰ) 线性表示,记 (Ⅱ) ,则( ) A.不能由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示; B.不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示; C.可由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示; D.可由 (Ⅰ)线性表示,但不能由(Ⅱ)线性表示. 解: B. 设 (*) 则必有,否则与不能由线性表示矛盾. 对(*)式变形即得可由(Ⅱ)线性表示. 7.向量组线性无关, 也线性无关,则( ) A., B. , C. , D. 解: D. , 线性无关(,故选(D) 8.设均为n阶非零矩阵,且,则和的秩 ( ) A.必有一个等于零; B. 都小于n; C.一个小于n,一个等于n; D.都等于n. 解: B. 由和得: 方程组有非零解,所以, 同理可得: 故选B. 9. 设矩阵的秩为为m阶单位阵,下述结论正确的是( ) A.矩阵的任意m个列向量必线性无关; B.矩阵的任意一个m阶子式不等于零; C.若矩阵满足,则; D.矩阵通过初等行变换,必可化为的形式. 解: C. 若,则即: 的列向量均为方程组的解. 而即: 为列满秩矩阵, 所以, 方程组仅有零解.亦即: 10.设有向量组 则该向量组的极大线性无关组是 ( ) A. ; B. ; C. ; D. 解: B. 以该向量组为列构造矩阵,对施行初等行变换: , 初等行变换不改变列向量组间的线性关系. 所以, 为向量组的一个极大无关组. 11.设非齐次线性方程组中,则下列结论成立的为( ) A.r=m时,方程组有解; B.r=n时,方程组有唯一解; C.m=n时,方程组有唯一解; D.rn时,方程组有无穷解. 解: A. r=m时,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩. 12.设为m×n矩阵,B为n维列向量,则下列结论成立的是( ) 若仅有零解,则有唯一解; 若有非零解,则有无穷解; 若有无穷解,则仅有零解; 若有无穷解,则有非零解. 解: D. 若有无穷解,则,故有非零解. 13.设为n阶实矩阵,是的转置矩阵,则对于线性方程组 (I): 和(II) ,必有 ( ) A.(II)的解是(I)的解,(I)的解也是(II)的解; B.(II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解; C.(I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(II)的解; D.(I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解. 解: A. 设 则所以,(I)的解是(II)的解; 反之,设 则 为一个列向量,所以必有: . 亦即: (II)的解是(I)的解. 因此,选A. 14.是非齐次线性方程组的两个不同解,是对应导出组的基础解系. 为任意常数,则的通解为( ) A. B. C. D. 解: B. 线性无关,并且是导出组的解,所以为导出组的一个基础解系; 为的特解,故选(B). 15.设为四元线性方程组的三个解向量,且, , ,c为任意常数,则的通解为( ) A. B. C. D. 解: C. 为的一个特解.其导出组的基础解系仅含一个向量, 且为导出组的一个非零解, 故的通解为. 16.齐次线性方程组=若存在三阶非零方阵满足,则( ) A.=-2,且||=0; B. =