D5_4(下)极值及最值2.ppt

最小二乘法原理: 4、最优化的产出水平 厂商的利润函数显然是 为获得最大利润即要满足 其中 利润函数为 3. 函数的最值问题 思考与练习 备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 注 2. 求平面上以 * 目录 上页 下页 返回 结束 2、最大值与最小值 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点(闭区域的内部) 边界上的最值点(闭区域的边界) 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小值 为最小值 (大) (大) 依据 例4. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. 例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 解: 设折起来的边长为 x cm, 则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为? , 积最大. 为 问怎样折法才能使断面面 令 解得: 由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有 一个驻点, 故此点即为所求. 第二章 问题的提出: 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系 y＝f (x) . 需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景 2. 确定近似函数的标准 实验数据有误差, 不能要求 3.最小二乘法 偏差 有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对 来确定近似函数 f (x) . 设有一列实验数据 分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 . , 它们大体 特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 令 满足: 使 得 解此线性方程组 即得 a, b 称为法方程组 (注意其特点) 某工厂生产两种产品，产量分别是 两者是不 相关的，但其成本与生产技术是相关的，假设两种 产品的总成本C与其产量的函数关系为 总收益 问如何确定每种产品的产量以 使厂商获得最大的利润？ 因此，问题归结为求 L 的最大值，由极值的必要 条件可得 例4.6 工厂生产两种产品,产量分别是 总成本是 两种产品的需求函数分别是 分别是两种产品的单价，为使利润最大， 产品的产出水平。 解： 总收益函数为 由 可得 试确定两 将 代入可得 L=169995 4.3 条件极值、Lagrange乘数法 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转化 方法2 拉格朗日乘数法. 分析：如方法 1 所述, 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极 故极值点必满足 记 例如, 值问题, 故有 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 代入原函数得到可疑极值。 例如, 求函数 下的极值. 在条件 例6. 要设计一个容量为 则问题为求x , y , 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 的长方体开口水箱, 试问 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 长、宽、高尺寸相等 . 最省, 内容小结 1. 函数的极值问题(无条件的) 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值, 解方程组 第二步 判别(求出所有的可疑点:驻点，不可导点…) ? 比较驻点及边界点上函数值的大小 ? 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束