半质环的交换性定理.pdf

第 32卷 第 1期 钦 州 学 院 学 报 2017年 1月 V01．32No．1 JOURNALOFQINZHOUUNIVERSITY Jan．，2017 半质 环 的交换性定 理 赵 贤 ，刘 敏 捷 (梧州学院 信息与电子工程学院，广西 梧州 543002) [摘 要] 利用换位子及非零因子的性质，对半质环的交换性进行研究，给出了一定条件下半质环成为交 换环的一个新的判定定理。 [关键词] 半质环；中心元；非零因子；换位子；交换性 [中图分类号]O153．3 [文献标识码]A [文章编号]1673—8314(2017)01—0027—03 1)(xa)+(0)a ∈Z(R)V ∈R 1 预备知识 2)(0)+0(xa) ∈Z(R)V ∈R 近年来，很多人一直关注研究关于环的交换 3)(axa)+(xa)a ∈z()V ∈R 性的条件 j，环的交换性理论是环论的一个重 4)(似0)+0(口) ∈Z(R)V ∈R 要 内容，是代数数论和代数几何的理论基础。在 5)(x,a)+xaxa∈Z(R)V ∈R 编码、密码学、信息论等领域中，交换环的理论都 6)(Ⅱ)+0(xa)a∈Z(R)V ∈R 得到了很多很好的应用。因此，对环的交换性进 7)(似口)+xaxa∈z()V ∈R 行研究具有一定的理论意义和应用价值。 8)(axa)+0(xa)a∈Z(R)V ∈R 20世纪初 ，Wedderbum证 明了任意有限除环 本文利用中心元、非零因子和换位子等相关 是交换的，这一结论引起了环的交换性问题 一 ， 知识，减弱定理A的条件 ，得到以下的定理，使定 文献 都得到了很多很好的结论 。 理A成为本文定理的特例，应用的范围更广泛。 本文以 为结合环，1表示R中的单位元，z 定理 设R是半质环，V ，Y∈R，，Y为非零 (R)表示 的中心，zo为非负整数集， 为正整 因子，若 (，Y)∈A[，y]满足下列条件之一， 数集，换位子[，Y]= 一 。 则 1n=n(，Y)≤ 为交换环 ： 定义：若环 R的零理想是半质理想时，则 1)[(口)+(口)a，Y]∈Z(R)V ∈R 是半质环 。 2)[(口)+n(xa)，Y]∈Z(R)V ER 在文献_8中，杜君花，堵 秀凤 等运用 了文 3)[(axa)+(0)a，Y]∈Z(R)V ∈R 献 。“中关于中心元的若干方法及相关定理，证 4)[(axa)+0(。)，Y]∈Z(R)V ∈R 明了： 5)[(0。)+xa n，Y]∈Z(R)V ∈R 定理A R是半质环，a∈R，2a为非零因子， 6)[(口)+a(xa)a，Y]∈Z(R)V ∈R 若 R满足下列条件之一，则 为交换环 ： 7)[(axa)+xa 。，Y]∈Z(R)V ∈R [收稿 日期]2016—09—19 [基金项 目]国家 自然科学基金项 目：有限交换环的不动点动力系；广西区教育厅科学技术研究项 目：环 的交换性条件的研究(2013YB232)；梧州学院中青年骨干