dsp-chap3-第三章_离散傅里叶变换和其快速计算方法_2.pdf

3.3 有限离散傅里叶变换及其性质(1)  对于一段有限长信号 （连续），分析频谱问题是傅氏积 分问题，进行时域周期重复和取样两过程，就可把广义 积分问题变成有限项求和，即由CTFTDFS 。  DFS变换：周期离散时间函数与一周期离散频率函数的组 合，它们是有限求和 （而不是积分），常用 DFS 来逼近 连续时间过程的傅氏变换。 也即要用数字运算能完全计算出付氏积分，必须对时间函数和频 率函数取样 （即DFS ），选择时间有限和频率有限的信号。 ① 时间取样：取样频率大于信号最高频率两倍； ② 频率取样：取样间隔足够小，使时间函数的周期 （单位圆上 等分 （取样）的点数）大于信号的时域长度。 结果：频域和时域中均不出现混迭现象。 北京邮电大学信息与通信工程学院 1 3.3 有限离散傅里叶变换及其性质(2)  离散傅氏级数提供了一种对离散时间傅氏变换作数值计 算的技巧，它在时域和频域都是周期的，但在实际中大 多数信号不具有周期性，它们很可能具有有限持续时间。  对这些信号，怎样探讨一种可数值计算的傅氏表达式？ 理论上，可通过构造一周期信号，其基本形状为有限 持续时间信号，然后计算此周期信号的DFS 。 实际上，这也就是定义了一种新的变换，称为离散傅 氏变换 （DFT ），它是DFS 的主周期。 DFT 是对任意有限持续时间序列可数值计算的傅氏变 换。 北京邮电大学信息与通信工程学院 2 DFT 定义：表达式(1) 周期序列的表示 长度为N 的有限长序列x(n) ~ 关系? 周期为Ｎ的周期序列 x (n) ~ ~ x(n) x (n)RN (n) x (n)的主值序列（加窗处理）  ~ x (n) 的周期延拓 x (n) x (n rN) x ((n))N r  其中: ((n))N n模N 同样：X(k)也是一个N点的有限长序列 ~ ~ X (k) X (k)RN (k) X (k ) X ((k ))N 北京邮电大学信息与通信工程学院 3 DFT 定义：表达式(2)  若n=n +n N 成立，且n 满足0≤n ≤N-1，则把n 称做n 1 2 1 1 1 对N 的模数，用符号 ((n)) 表示，即：n 模 N=((n)) =n ， N N 1 也就是n 对N 取余数。 ~ 例: x (n) 是周期为N=6 的序列，求n=19及n= -2 两数对N 的余数。 解： n=19=1+3 ×6 ， ((19)) =1 6 n=-2=(-1) ×6+4 ，((-2)) =4