可交换矩阵的对角化问题.pdf

第29卷 哈尔滨师范大学自然科学学报 第5期 NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITY 可交换矩阵的对角化 问题 魏慧敏 (大同大学大同师范分校) 【摘 要】矩阵对角化问题在矩阵理论中占有重要的地位，而可交换矩阵是矩 阵理论中一类重要的矩阵，因而可交换矩阵矩阵的对角化问题显得尤为重要，该文 给出了交换矩阵可以对角化的几个充分条件及充要条件． 【关键词】矩阵；可交换矩阵；对角化；特征向量 证明 先证必要条件． 0 引言 可交换矩阵是矩阵中的一类非常特殊的矩 阵，从它的定义出发，通过对它与对角化关系的 令Q AQ= QBQ= 深入研究，归纳总结了它在对角化问题中的一些 定理． 都是对角矩阵，则 丑 1 预备知识 2 A=Q ● Q ，B=Q 定义1 若同阶方阵A，B，有AB=BA，则称 方阵A，B为可交换矩阵 定义2 若n阶方阵P= (p)…中元素满 足p =0，i≠ ，√=1，2，…，n，称 于是AB=Q Q ·Q P为 阶对角阵，记P= p’ ● ● ● 2 = Q pⅢ， dn n 定义3 若 n阶方阵 满足AA =A =，， 其中，为 阶单位矩阵，则称A为正交矩阵． BA Q Q ·Q 2 交换矩阵可 以对角化的充分条 ^ 件及充要条件． 定理 1 A，B为n阶实对称矩阵，存在正交 矩阵Q，使得QrAQ与QBQ为对角矩阵的充要条 2,d 件为AB=BA． 故 AB：B．4 收稿 日期：2o13一O8—21 l6 哈尔滨师范大学自然科学学报 2013年 第29卷 再证充分条件． 向量 1，2，…， ，于是由题设可得 l，2，…， 因为 为n阶实对称矩阵，则存在n阶正交 也是 的rt个线性无关的特征向量，故 也可以