可数离散交换群作用下极小系统测度敏感性.pdf

第32卷第3期 大 学 数 学 Vo1．32。№．3 2016年 6月 C0LLEGEMATHEMATICS Jun．2016 可数离散交换群作用下极小系统 测度敏感性 余林清 (合肥工业大学 数学学院，合肥 230009) [摘 要]研究了可数离散交换群作用的测度敏感性，并研究了相关性质．并且对一个极小系统，我们给 出了测度 一敏感但不是 (+1)一敏感的系统的结构的一个刻画． [关键词]极小性；测度敏感性；局部 proximal关系 [中图分类号]O189．II [文献标识码]A [文章编号]1672—1454(2016)03—0049—06 1 引 言 自1986年Devaney定义Devaney混沌以来，初值敏感性作为定义该混沌的核心内容一直受到广泛 研究．在文献[2]中，Akin和 Kolyada给出了一个 比初值敏感性更强的概念 ，即Li—Yorke敏感，并且证 明了任何一个弱混合系统一定是 Li—Yorke敏感的．2005年，熊金城[1妇引入 敏感性的概念．之后，邵 松 ，叶向东和张瑞丰L7研究了极小拓扑动力系统 中关于 敏感性的一些性质．2008年 ，叶向东和张瑞 丰[4引入敏感集的概念并且证明了一个传递系统是敏感的当且仅当存在一个元素个数大于等于2的敏 感集． 由于拓扑动力系统和遍历论之间有着紧密的联系性 ，人们 自然地想到将敏感性 的概念引入到遍历 论中．2005年，Cadre和JacobE]对于可测动力系统给出了逐对敏感性的概念并证明了一个弱混合的可 测动力系统是逐对敏感的．随后 ，James，Koberda，Lindsey，Silva和 Speh_1对此 问题做了进一步研 究，给出了可测敏感性的概念．黄文，鲁平和叶向东[3]定义了 一敏感性和 一等度连续性等概念 ，得出 一 敏感性与逐对敏感性是等价的，同时证明了对于遍历的测度 而言， 一等度连续和非 一敏感性等价． 本文受文献[3]启发，将整数加群作用下动力系统的测度敏感性推广到一般可数离散交换群作用， 主要对测度敏感的极小系统的结构进行了一个刻画． 2 准备知识 在这篇文章中，我约定 ， 和 +分别指代 自然数，整数和非负整数，记 △ (X)一 {(，，… ，)∈X ： ∈X)． 设 X是一个紧致 的Hausdorff空间，G为离散拓扑群．如果 ：G×X— X连续且满足 (i)对任意 z∈X ，有 (P，)一z，其中e是G 的单位元 ； (ii)对任意 ∈X和g1，g2∈G ，有 9(g1，q~(g2，))= (glg2，)， 那么称 (X，G，)是一个拓扑动力系统 (简记为TDS)．为了方便起见，通常直接用 (X，G)表示 [收稿 日期]2015—12一II； [修改日期]2016-03-08 [基金项 目]国家 自然科学基金11171320)及中央高校基本科研业务费(2015HGZX0017) [作者简介]余林清(1990一)，男，合肥工业大学硕士研究生，从事动力系统研究．Email：yulinqing90@163．corn 50 大 学 数 学 第 32卷 TDS，将 (g，z)记为 g：r．在本文中，G取可数离散 abelian群． 设 (X，G)是一个 TDS，称 orb(，G)一 {gx：g∈G)为 z∈G的轨道．设 A为X 的子集，如果对 Vg∈G ，有 gA 一 {gx：z∈A}CA ，则称A为不变集．如果对X 的任意非空开集U和V ，都存在g ∈G，满足 【，ng V≠ ，那么称 (X，G)是拓扑传递的．如果存在gC。∈X ，使得 orb(。，G)===X ，那 么称 (X，G)是点传递的，其中 。称为X的一个传递点，记 7ran 为X 的所有传递点构成的集合．如果 对任意 ∈X都有orb(z，G)一X ，那么称