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向量 融数形于一体的数学工具 南京外国语学校 朱胜强 问路时，有人告诉你 “向东走 500m”．这 里 ，“向东”指的是方 向，“500m”指的是行走 要不是 向量独特 的表示方式 ，我们几乎 的路程 ，也就是大小．数学 中我们把既有大 就把它 当成 了数．这与我们平 常熟知的代数 小又有方 向的量称为向量． 恒等式是多么相似 ! 物理 中的力 、速度 、位移 、加速度、电场 或许正是 向量拥有 的这种可贵 的代数 强度、磁感应强度等都是 向量．或许我们觉 属性成就了其非凡的品质．当已知两个 向量 得奇怪 ：向量怎么会与物理中的许多概念有 后 ，我们并不需要知道 它们对应 的几何对 密切联系的呢?如若追根溯源 ，则会发现 向 象 ，便可以依据既有 的规则进行运算 ，得 到 量其实起源于物理中的力学． 相应的结果．这纯粹是代数运算．但每一 向 早在古希腊 ，著名学者亚里士多德就知 量又有具体 的几何含义 ，依托 向量 的运算 ， 道力可表示成向量形式 ，两个力的组合作用 便可以建立起几何 图形之间的某种 内在联 可用平行四边形法则来得到．1788年，法 国 系．因此 ，我们在研究几何 问题时 ，不再非得 数学家 、物理学家拉格 朗 日在 《分析力学》中 依赖于全等、相似等关系 ，不再非得绞尽脑 把带有方向的物理量数学化 ，即用数学方法 汁地添加辅助线．问题的答案或许就在一系 来表示它们 ，但拉格朗 日没有使用 “向量”一 列 向量运算所得 的结果 中．这种颠覆 了传统 词．直到 1844年 ，德国数学家格拉斯曼才引 习惯的思维方式，充分展示 了其数与形双重 入有向线段 的概念，称之为向量 ，并 引入 向 身份的魅力，使其成为解决问题的强有力的 量的一般运算法则． 工具 ． 从向量的定义可感受到其双重身份．方 问题 求证 ：三 角形 的三条 高线交 于 向反映的是几何特征 ，而大小则是数量特征． 一 点 ． 因此，向量概念本身便是一个数形结合体． 已知 △ABC 中，AD 上BC，BE j_AC， 向量可以运算 ，如我们所知道 的线性运 CF上AB，D，E，F分别为垂足．AD，BE相交 算与数量积运算．当见到下面一系列等式 于点 0． 一 (一n)一n； 求证 ：直线 CF过点0(如图 1)． n+ 0— 0+n—n： (口+ )+ c一 口+ (6+c)； n一6一n4-(一6)； (口十 6)一 -4 ； (n+6)一n+2n ·6+6 ； C (口一6)．(口-46)一n2—60， 图 1 4 New UniversityEntranceExamination 一 平面内所有向量的一组基底 (如图3)． 分析 只要设法证明CO上AB 即可． 证 明 由题意可知 上 ， _【 ． f ． ===0， 所 以 一 一 l0B ‘AC一 0， i-o-~．(--oC一 )一0， ① 川。1 ．( 一 )一o， ② 图 3