域上2阶全矩阵空间保次交换的线性映射.pdf

第34卷 第2期 高 师 理 科 学 刊 Vo1．34 No．2 2014正 3月 JournalofScienceofTeachers CollegeandUniversity Mar． 2014 文章编号：1007—9831(2014)02—0001—03 域上2阶全矩阵空间保次交换的线性映射 杨巍 ，张汉字 (1．广西1业职业技术学院 基础教学部，广西 南宁 530003；2．黑龙江大学 数学科学学院，黑龙江 哈尔滨 150080) 摘要：在保持问题的研究中，2×2阶矩阵空间的研究方法具有一定的特殊性．设F是域， ) 记为F上 2阶全矩阵空间，刻画 了 (F)上保次交换的线性映射的形式． 关键词：域 ；全矩阵空间；保次交换 ；线性映射 中图分类号：0151．21 文献标识码 ：A doi：10．3969／j．issn．1007—9831．2014．02．001 Commutativitydegree-preservinglinearmapson2X2matrixspacesoveranyfield YANGWei。ZHANGHan—vu (1．DepartmentofBasicCourse，GuangxiVocationalTechnicalInstituteofIndustry，Nanning530003，China 2．SchoolofMathematicalScience，HeilongjiangUniversity，Harbin150080，China) Abstract：Theresearchofpreserverproblemsover2×2matrixspaceshasitsspeciality．SupposeF isanyfield，let 2 (F)denote2×2matrixspacesoverF．Characterizedtheformofcommutativitydegree—preservinglinearmaps overj (，)． Keywords：field；matrixspace；commutativitydegree—preserving；linearmap 文献 1【弦0画了域上2×2阶对称矩阵空间上保交换的加法满射形式；文献[2l~l画了域上2×2阶三角矩阵 空间保可交换的加法映射形式；文献[3孩0画了上三角矩阵空间线性保持形式．本文在文献[1—3]的基础上， 刻画了域上的2×2阶全矩阵空间保次交换的线性双射形式． 设F是一个域，M2(F)表示F上2×2全矩阵代数；E 表示 (i，，)位置是1，其余位置是0的矩阵；I ． 是2×2单位阵．设 是M，(F)到自身的双射，若对M2(F)上的任意矩阵A，B都有 +fiB)：a~p(A)+ ()， ， ∈F ，则称 是 )上 的线性双射 ．若 是 )到 自身 的映射 ，且满足 ()(4／)：(A)()(A∈ (F))，则称 是 )上保次交换映射，也称 保次交换． 引理 设F是域， 为 )的线性双射，则 保次交换当且仅当 ()是数量阵． 证明充分性．假设(J)=k／，令=(罢当)=( )+dI，=Ia∞_+d2 )+(+)，， 贝0有 ()()：[(一)(E11)+6(E12)+c(2。)+kdI]la—d)(1】)+(6+6)(2)+(c口+de)· (。)+后(cb+d)Il，()()：la—d)(￡l)+(ab+6)(JE2『)+(c+如)()+七(cb+d)II· 【(口一)(。)+b~o(El2)+c(2)+尼 I．经过计