平面和直线.PDF

教 案 平面和直线 教学内容 平面和直线是几何学中最基本的研究对象，是一些向量空间和几何空间中某 些对象的最基本原型。由于曲线在局部可以用它的切线来近似，曲面在局部可以 用它的切平面来近似，所以平面和直线也是几何和分析中“以直代曲”的最基本 元素。因此学习空间解析几何中处理平面与直线的方法非常重要，而且是必须要 掌握的数学工具。在本节中主要讲解以下几方面的内容： （1）平面和直线的代数表示，即它们的方程的形式如何？以及如何用向量 的运算方法来建立这些方程； （2 ）平面与平面，平面与直线、直线与直线，以及点与这些对象的位置关 系，如距离、夹角等，以及如何利用代数方法来处理。 教学思路和要求 （1）首先讲解平面的方程、直线的方程、以及建立这些方程的方法。 （2 ）讲解点与平面的距离、点与直线的距离公式的建立和运用。 （3 ）讲解平面与平面，平面与直线、直线与直线的夹角概念与计算方法； （4）进一步，利用这些工具讲解一些具有某些特性的直线或平面的方程的具 体计算方法。 教学安排 一． 平面方程的几种形式 3 在 中，给定了与平面垂直的方向和平面上的一个点，就可以唯一决定这 R 个平面。 与平面垂直的方向称为这个平面的法向量。设所求平面 的法向量为  P x , y , z n(A, B, C) ，而且平面过点 ( ) 。对平面 上的任何一点P(x,y ,z) ，P  0 0 0 0 P P P (x x ,y y ,z z ) 与 的连线依然在平面上，因而 与n 垂直，即 0 0 0 0 0 n  P P = 0 。 0 z n 用分量表示，就是 A(x x0 ) B(y y 0 ) C(z z 0 ) 0 ， 这个关系式称为平面的点法式方程。 P0 P 记常数D (Ax By Cz ) ，则上述方程可以 0 0 0  写成 Ax By Cz D 0 ， O y 这个关系式称为平面的一般方程。 x 例6.2.1 求过原点O(0, 0, 0) 和点P(6, 3, 2) ，且 图6.2.1 与平面4x y 2z 8 垂直的平面方程。 解 记所求平面为 。因为 过原点O(0, 0, 0) 和点P(6, 3, 2) ，所以其法向   量 应与OP (6, 3, 2) 垂直。又 垂直于平面4x y 2z 8 ，所以 应与向量 n  n