【2017年整理】Mathematica数值计算在量子力学谐振子的应用.doc

Mathematica在量子谐振子的应用 杨宇轩 南漳县第二中学 摘要：本文使用数值计算的方法,解量子力学中的谐振子的薛定谔方程，得到波函数和能量本正值间的关系。 关键词: 量子谐振子；数值计算；能量本征值；波函数；Mathematica 引言 在自然界中存在大量的振动现象。经典物理中，复杂的振动系统往往可以分解为若干个简单的简谐振动，而这些做简谐振动的系统就是具有深刻意义的谐振子系统。因此对于经典物理，对于谐振子的研究形成了振动理论的大部分内容。同样地，在量子力学的力学系统中一个简单而有意义的例子是谐振子。谐振子对于普遍理论有重要的意义，因为它是形成辐射理论的基础。在普遍理论中，对于谐振子动力学方程的求解最终归结为求解二阶线性微分方程。经典理论中对于谐振子的求解是非常容易的，然而，在量子力学中，谐振子的求解就是求解谐振子的薛定谔方程；对于薛定谔方程的求解却并不容易，需要借用特殊函数才能求解。本文将采用数值计算的方法，通过波函数的自然条件，分析得出一维谐振子的能量本正值应当满足的条件。[1-3] 谐振子的薛定谔方程 考虑一个作一维小振动的粒子（线性振子），该粒子的势能为： （1） 该振子的哈密顿量[4]为： （2） 可以得到谐振子定态薛定谔方程[4]为： （3） 通过求解数学物理方程以及一些特殊函数，可得到谐振子的波动方程[4]为： （4） 列出，的前五项[5]： （5） 由，公式（4）、（5），我们可以看出，对于波函数及其一阶导数满足： 当 （7） 当 （8） 其中， 谐振子的能量的数值分析 通过化简，谐振子的能量本征值方程[5]，可以写为： （9）其中，；。 经过求解，我们得到 （10） 下面，将通过数值计算说明由波函数的自然条件必须取奇数。 由公式（7）、（8），可以确定波函数需要满足的初始条件。在此，不妨取： 当时 ，当时， 为了说明问题，由公式（9）直接使用数值计算的方法，直接得到波函数图象。将的值保留到6位有效数字。 当取，，，分别得到图像为： Figure 1 K=0.9 Figure 2 K=0.999999 Figure 3 K=1.1 Figure 4 K=1.000001 从Figure 1-4可以看出，在从小于1变化到大于1的过程，波函数在较大的值处，图像尾部会发生翻转；并且，从图中也可以看到，虽然在大于（小于）1范围的取值不同，波函数图像会有变化，但是波函数图像的整体趋势是一样的。当的值与1越接近，波函数在较大的值处越接近0。因此有理由相信，在取值不断的逼近1时，我们定能得到在较大处趋于零的波函数，这正是波函数的标准条件所要求的。 当选择时，也可以发现这样的规律。 Figure 5 K=2.9 Figure 6 K=2.999999 Figure 7 K=3.1 Figure 8 K=3.000001 由Figure 5-8可以看出，在从小于3变化至大于3的过程，波函数的图像确实发生了翻转。并且越接近3波函数在较大的值处越接近0。 Figure 10 K=4.999999 Figure 11 K=5.1 Figure 12 K=1.999999 Figure 13 K=2.000001 从Figure 9-10,可以发现，当在5附近变化时，波函数确实发生了翻转。因此，可以断言，当定能得到在较大的值处越接近0的波函数。 在Figure11-12，随意选择在2附近，我们发现波函数在较大的值处向无穷远处发散，也就是取偶数值是不满足波函数的标准条件，这和前面的讨论中，确定的值为奇数的结论相符。， 结论 借助Mathematica对量子力学中的谐振子的能量本证方程，利用数值法作了直接的定性分析，从侧面说明了，为了能满足波函数的标准条件能量本征值必须满足： （11） 本文借助数值计算的定性方法，确实说明了谐振子能量取分离值是波函数的标准条件要求的必然结果。 参考文献: [1] P.A.M.狄拉克，著. 量子力学原理[M].陈咸亨，译.北京：科学出版社：1979，137-142 [2] 杨福家. 原子物理学（第四版）[M].北京：高等高等出版社：2011，120 [3] 周世勋. 量子力学[M]. 北京：高等教育出版社：2012（12），29-34. [4] 朗道，著. 量子力学（非相对论部分）（第六版）[M]. 严肃，译. 北京：高等教育出版报社：2011（11），61-64. [5] David J.Griffiths,著. 量子力