不定积分的概念与性质.docVIP

南京交通职业技术学院 教 案 NO.14 NO.15 教师姓名 肖红武 授课班级 111011.1012. 1021.1022 1023.6013 授课形式 讲 授 授课日期 2011 年 月 日 第 周 授课时数 2 章节名称 第四章 不定积分 §4-1 不定积分的概念与性质 教学目的 掌握原函数、不定积分的定义及基本积分公式 了解不定积分与微分之间的内在联系-两者在运算上的互逆关系 知道不定积分的几何意义及性质 教学重点 不定积分的定义、几何意义及性质 教学难点 利用代数、三角恒等变形及基本公式熟练地求不定积分 更新、补充、 删节内容 教学媒体 直尺、粉笔 课后分析 复习旧课，导入新课：（时间5分钟） 复习旧课：导数的定义、几何意义及基本公式 导入新课：前面讨论了如何求一个函数的导函数问题,本次课将讨论它的相反问题.即寻求一个可导函数,使它的导函数等于已知函数.这是积分学的基本问题之一. 教 学 过 程 （ 时 间70 分钟） 教 学 提 示 §4-1 不定积分的概念与性质 原函数 原函数的概念 :设函数与在某一区间内有定义.若在该区间内有或.则称函数是在该区间内的一个原函数. 例 故是在内的一个原函数.且也是原函数. 2、(原函数存在定理):若函数在某一区间内连续,则在该区间内的原函数必定存在. 说明:(1)连续函数一定有原函数. (2)初等函数在其定义域内都有原函数. 3、(原函数族定理):如果函数原函数,则必有无限多个原函数且任意两个原函数间至多只相差一个常数. 说明: 若有原函数,则就是的全部原函数. 二、不定积分 1、:函数在区间上的原函数全体称为在上的不定积分.记为.其中,积分号; --被积函数; 被积表达式;积分变量. 说明: 若是的一个原函数,则 例 求不定积分: 例 求不定积分: 例 设曲线通过点(1,2).且其上任一点处切线的斜率等于这一点横坐标的2倍.求此曲线的方程. 2、微分运算与积分运算间的关系---互逆运算 三、不定积分的几何意义 几何意义:不定积分在几何上表示积分曲线族.其中任一条可由其他曲线经过上、下平移而得到. 四、基本积分公式 五、不定积分的基本运算法则 法则1 法则2 说明: 法则2对于有限个函数的代数和也是成立的. 例 求不定积分: 例 求不定积分: 六、直接积分法 例 求不定积分: 例 求不定积分: (1); (2) 说明: (1)求不定积分时常需对被积函数作恒等变形,转化为表中所列类型的积分后再逐项积分.与求导运算相比,有较大的灵活性. (2) 恒等变形有三角恒等变形和代数恒等变形等. (3)检验积分结果是否正确,只要对积分结果求导,看结果的导数是否等于被积函数即可. 例 求不定积分: 例 求不定积分: 例 求不定积分: 例 求不定积分: 例 求不定积分: 例 求不定积分: 例 设曲线通过点,且其上任一点处切线的斜率等于这一点横坐标的两倍,求此曲线的方程. 课堂小结：（ 时 间 4分钟） 本次课主要介绍了: 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义、基本公式及性质 布置作业：（ 时 间1 分钟） 习题册4-1 南京交通职业技术学院数学组．