【2017年整理】弹性力学平面问题的有限单元法02.ppt

1．试证：在三结点三角形单元内的任意一点都有 2．试证：在三结点三角形单元 的一边上，例如 边上有 * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3．求所示三角形的二次插值位移模式。该单元有三个主结点，两个副结点。 * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * 五 单元刚度矩阵 　　（1）单元的应变能 　　 （4-16） 　　 （2）单元上外力的势能 　　　　 （4-17） 式中　　、　　、　　分别表示单位体积的体积力、单元上的表面力、单元结点上的结点荷载。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * 将应力矩阵、应变矩阵、单元位移矩阵（4-16）、（4-17）后相加，得到单元的总势能为： 利用最小势能原理，取结点位移　　的变分，得到： 由　　的任意性，有： （4-18） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * 考虑到　　　的对称性，对式（4-18）求偏导得到： 记 则式（4-19）可写为： （4-19） （4-20） 上式即为描述单元结点力和结点位移向量之间关系的平衡方程。其中　称为单元刚度矩阵。 （4-22） （4-21） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 在3结点等厚三角形单元中，如果单元的材料是均质的，矩阵 中的元素是常量，而且在三角形常应变单元情况下，矩阵 中的元素也是常量，当单元的厚度 t 也是常量时，则有 ， (4-23) * 于是(4-21)式可以简化为 注意到 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 物理意义：单元刚度矩阵 中的任一列 的元素分别等于该单元的某个结点 沿坐标 j方向发生单位位移时，在各结点上所引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关。即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。 将表达式(4-8)代入(4-22)式，即该平面应力问题中三角形单元的刚度矩阵，写成分块形式如下 (4-24) * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 其中 对于平面应变问题，上式中的 应换成 ， 换成 至此单元的力学特性分析已告完成，下面就可以转入结构的整体分析。 (4-25) * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 用有限元解题，需把弹性体离散化后的每个单元所受的体力、面力、集中力都移置到有关的受载结点上，形成单元等效结点载荷列阵 ，这种移置时按静力等效原理进行的。 。 所谓静力等效原理，对弹性体来说，是指弹性体上的原载荷与移置后的结点载荷，在弹性体的任意微小虚位移上所做的虚功相等； 对于刚体，是指刚体上的原载荷与移置后的结点载荷向任一点简化时，具有相同的主矢和主矩，即对任意坐标轴的载荷投影之和相等，对任意轴的力矩和也相等； 根据圣维南原理，这种载荷移置