【2017年整理】微分方程稳定性.doc

目录 摘要 3 ABSTRACT 4 前言 5 微分方程稳定性分析原理 6 捕鱼业的持续收获模型 10 种群的相互竞争模型 14 参考文献 18 摘要 微分方程稳定性理论是微分方程的一个重要的理论。微分方程理论就是通过一些定量的计算来研究系统的稳定性，也就是系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或者是平衡状态附近的位置。用微分方程描述的物质运动的特点依赖于初值，而初值的计算或者测定不可避免的又会出现误差和干扰。如果描述这个系统运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差和干扰都会导致严重的后果。因此，不稳定的特解不适合作为我们研究问题的依据，只有稳定的特解才是我们需要的。本文就一阶微分方程和二阶微分方程的平衡点及稳定性进行了分析，并且建立了捕鱼业持续收获模型和两种群相互竞争模型。 【关键词】 微分方程；平衡点；稳定性；数学建模 ABSTRACT Differential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative calculation, also is the system in the disturbance of deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculation of initial value or determination of the inevitable will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences. Therefore, special solution is not suitable for the unstable as the basis of our research question, only stable solution is we need. In this paper, the first order differential equation of second order differential equation and the balance and the stability are analyzed, and the fishing sustained yield model is established and two species and two species competing models. 【key words】 Differential equations; Balance; Stability; Mathematical modeling 前言 在现实世界里，无论是在自然科学或者是社会科学的各领域中，存在着许许多多的变化规律可以用某些特定的数学模型来进行描述。例如我们通过对该数学模型进行定性分析或者是数值模拟，用得到的结果对描述的变化规律给出相应的数学解释，进而为人们跟进一步地理解和认识相对应的现象，或者对某些过程进行控制。但在实际问题中，有时候我们建立数学模型的目的并不是单纯的为了得到事物变化的某一瞬间的形态，而是为了得到在一段相当长的时间后该变化的趋势。就像在某种条件下描述的过程变量会无限地接近某个确定的数值，在某种情况下描述的过程变量会渐渐地偏离该数值出现过程的不稳定。为了分析该种情况下的稳定和不稳定规律，我们可以直接利用微分方程的稳定性理论来研究平衡状态。 一．微分方程稳定性分析原理 1.一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程