【2017年整理】微积分下册积分重点.doc

微积分下册常见六种积分考试重点 二重积分、三重积分 第一型曲线积分、曲面积分 第二型曲线积分、曲面积分 （2013年6月2日） 二重积分/累次积分 在有界闭区域D上进行积分的积分符号；D Oxy平面上的有界闭区域，积分区域；f(x,y) 被积函数（其在D上连续才可积），比如可以是区域D的密度大小，也可以表示底面是D的曲顶柱体的高。 2）dσ Oxy平面上微小区域面积，面积元素（d 微分；σ D中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。 3）微小面质量=微小面密度×微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高×微小曲顶柱体底面长度；f(x,y)dσ 微小面质量或者微小面积，被积表达式。 曲面D的质量，曲顶柱体面积。此处应注意：f(x,y)0时，二重积分积分的现实意义才成立。 6）二重积分的计算：化二重积分为二次积分 三重积分 1）在有界闭区域Ω上进行积分的积分符号；Ω Oxyz空间中的有界闭区域，积分区域，代表一几何体；f(x,y,z) 被积函数（其在Ω上连续才可积），可以是区域Ω的密度大小。 2）dV Oxyz空间中微小区域体积，体积元素（d 微分，V Ω中的微小几何体）。 3）微小体质量=微小体密度×微小体积；f(x,y,z)dV 微小体质量，被积表达式。 4） 几何体Ω的质量。此处应注意：f(x,y,z)0时，三重积分积分的现实 意义才成立。 5） 6）三重积分的计算：化三重积分为三次积分  第一型曲线积分 第一型曲线积分又叫作对弧长的曲线积分，或数量值函数的曲线积分 1）在线段L上进行积分的积分符号；L 当被积函数是二元函数时，其是Oxy平面上一条光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是Oxyz空间中一条光滑曲线；f(x,y,z) 被积函数，一函数值，比如可以是线L的密度大小，也可以表示底边是L的曲边梯形的高。 2）ds 微小弧长（d 微分；s 微小线段，微小曲边梯形的底边长度）。 3）微小线质量=微小线密度×微小线长度；微小曲边梯形面积=微小曲边梯形高×微小曲边梯 形底边长度；f(x,y,z)ds 微小线质量或者微小曲边梯形面积，被积表达式。 4） 线质量，曲边梯形面积。此处应注意：f(x,y,z)0时，第一型曲线积分的现实意义才成立。 5） 6）第一型曲线积分计算公式 第一型曲面积分 第一型曲面积分又叫作对面积的曲面积分，或数量值函数的曲面积分 1)在有界光滑曲面Σ上进行积分的积分符号；Σ一空间有界光滑曲面；f(x,y,z) 被积函数，一函数值，比如可以是曲面Σ的密度大小，也可以表示底面是Ω的曲面体的高（有限制）。 2）dS微小曲面面积（d 微分；S微小曲面）。 3）微小曲面面质量=微小面密度×微小面积；微小曲面体面积=微小曲面体高×微小曲面体底面长度；f(x,y,z)ds 微小体质量或者微小曲面体体积（有限制），被积表达式。 4） 面质量，曲面体体积（有限制）。此处应注意：f(x,y,z)0时，第一型曲线积分的现实意义才成立，即使如此，其现实意义亦不明显。 5） 6）第一型曲面积分计算公式 若计算中须带入线方程，带入的方程应按上线方程的前四种形式之一带入，若计算中须带入面方程，带入的方程应按上面方程的后三种种形式之一带入，至于带哪一种形式，须看哪一种形式利于解题。 比如，若线方程可以化为圆的形式，则常常采用圆的参数形式带入。再如，平面A截柱面B得的面，其方程不是二者联立解得的方程，因为其相交的部分是线而不是面，解得的方程是交线的方程；显然B的方程不能作为截得的面的方程，因为二者公共部分是一条线，而A包含截得的面，因而截得的面的方程可以用A的方程表示。 注：二重积分与第一型曲面积分只是在积分区域上有差别。二重积分，积分区域在Oxy面上，而第一型曲面积分积分区域在Oxyz空间中。 第二型曲线积分 第二型曲线积分又叫作对坐标的曲线积分，或向量值函数的曲线积分 1）在有向线段Γ上进行积分的积分符号；Γ 当被积函数是二元函数时，其是Oxy平面上一条有向光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是Oxyz空间中一条有向光滑曲线；P(x,y,z)、Q(x,y,z) 、R(x,y,z) 被积函数，力的三个分向值。 2）微小功=力×微小线长度()；P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz 微小功。 3） 力在有向线段Γ上做的功。 4）两种曲线积分的关系 5）第二型曲线积分计算公式 第二型曲面积分 第二型曲面积分又叫作对坐标的曲面积分，或向量值函数的曲面积分 1)在取定了侧的有界光滑曲面Σ上进行积分的积分符号；Σ 取定了侧的空间有界光滑曲面；P(x,y,z)、Q(x,y,z) 、R(x,y,z) 被积函数，场强的三个分向值。 2）微小通量=场强×微小面积()；P(x,y,z)dydz+Q(x,