【2017年整理】数学建模实例.ppt

微分方程模型;微分方程是研究变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口和交通各个领域中有广泛的应用。 不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都遵循着下面的模式： 净变化率＝输入率－输出率（守恒原理）;引例一;由已知，;建立微分方程的常用方法;微分方程的建模步骤;3、配备物理单位： 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位． 4、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确 定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学 陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。;案例1：一位女士每天摄入2500cal食物，1200cal用于基本新陈代谢(即自动消耗)，并以每千克体重消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身体的脂肪（设10000cal可转换成1kg脂肪）。星期天晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天她饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立一个通过时间预测体重的数学模型，并用它估计： （1）星期六该女士的体重？ （2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？ （3）若不进食，N周后她的体重是多少？;解;1、“每天”：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗． 2、上述陈述更好的表示结构式： 取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则： 每天的净吸收量＝2500 – 1200 ＝1300（cal) 每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal) 转换成脂肪量＝1300 – 16W（cal） 3、体重的变化／天＝ (千克／天);1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：; 有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外 一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位 的匹配，利用;1、翻译或转化： 2、配备物理单位： 3、建立表达式： 4、确定条件：;建立表达式;积分后可求得其通解为：;积分后可求得其通解为：;最后得到不同阶段的微分方程是：;（1） 代入对应方程，求得;案例2 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。分析表明C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24％，此人生活在多少年前？;（1）问题分析与模型的建立;（2）解;案例3、追线问题;图2 走私船与缉私舰的位置关系;几何关系;如何消去时间t?;追线模型：;解的进一步讨论; 如图所示一个容量为2000m3的小湖的示意图，通过小河A水以0.1m3/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。在上午11:05时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详;湖泊污染问题分析;由初始条件：; 当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出此时的t=T，即;何为房室系统？; 药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即： ;情况1 快速静脉注射;情况2 恒速静脉点滴 ;情况3 口服药或肌注 ; 如下图给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。; 国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。 ; 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？ ;参考数据 1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。 2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下： ;问题