【2017年整理】有限元设计——单元位移模式及插值函数的构造.ppt

有限元设计 Finite Element Design ; 问题提出： 子弹以5mm/s速度挤进枪管，材料参数及初始条件均已知，问子弹及枪管的应力、应变、接触摩擦力如何计算？;√ ;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.; 采用有限元分析，其决定性的步骤之一是选择适当的单元和插值函数。;第3章 单元位移模式及插值函数的构造;单元类型与分析;在单元类型的选择上, 一维单元可以是2节点线元或3节点二次元, 二维单元常用3/6节点三角元或4/8/9节点四边元, 三维单元常用4/10节点四面体元或8/20节点六面体元。特殊情况下, 也可采用五面体元。;1、一维单元;2、二维单元;2、二维单元;2、二维单元;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;2、二维单元;3、三维单元;例1：;考虑微段dx，内力 dx的伸长为 x截面上的位移： 根据几何方程求应变，物理方程求应力 应变 应力;有限元法求解;2. 用单元结点位移表示单元内部位移 第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，;第i个单元的应变为εi，应力为σi ，内力为Ni ：;3. 把外载荷集中到结点上 把第i单元和第i+1单元重量的一半 ，集中到第i+1结点上。 ;4. 建立结点的力平衡方程 对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：;建立所有结点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的结点位移。 如直杆划分成3个等长的单元，解得：;单元类型与分析; 根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以结点的位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。 ; 对于弹性力学平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，;多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。具体取多项，由单元形式来确定。即以结点位移来确定位移函数中的待定系数。;位移只能确定六个多项式的系数，所以3结点三角形单元的位移函数如下， ;将水平位移分量和结点坐标代入（1）第一式，;令 ;[T]的伴随矩阵为，;同样，将垂直位移分量与结点坐标代入公式（1）中的第二式，可得， ;令 （下标i，j，m轮换） ;单元内的位移记为 ; 必须注意：插值函数的构成不取决于求解的微分方程式，插值函数构造方法仅取决于：几何图形（单元形状）、 结点数量与位置以及在单元结点处规定的因变量的数量。;选择单元位移函数应满足以下条件： 1）反映单元的刚体位移与常量应变，称为完备性条件。 2）相邻单元在公共边界上的位移连续，单元之间不能重叠，也不能脱离。即位移函数在单元之间连续，称为协调性条件。 单元位移函数满足以上两个条件，就满足收敛性要求。;由（1）可以将单元位移表示成以下的形式，; 形态函数Ni具有以下性质： 1）在单元结点上形态函数的值为1或为0。 2）在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于1。;单元类型与分析;三角形单元的形态函数Ni具有明确的几何含义。;P点的坐标为(x,y)，则矩阵 为三角PIJ面积的两倍，因此形态函数， Ni为三角形面积之比。同样， ;例题2：如图所示??腰三角形单元，求其形态矩阵[N]。;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;三角形积为 ;根据形态函数的几何意义，可以直接得到上面的结果。 形态矩阵为;如果把三个结点按顺时针方向排列， 即i（a，0），j（0，0），m（0，a）;位移函数和插值函数表示方法;x;坐标插值;单元内任一点的坐标 x ，y 采用节点的