【2017年整理】机械振动专题归纳.doc

一、题型归纳 1. 巧用时间的对称性 [例1]一质点在平衡位置点两侧做简谐运动，在它从平衡位置出发向最大位移处运动过程中经第一次通过点，再经第2次通过点。则此后还要经多长时间第3次通过点，该质点振动的频率为多大？ 解析：由于质点从和从的时间是对称的，结合题设条件可知所需时间为，所以质点从平衡位置的时间为 ，又因为，所以质点的振动周期为，频率。 根据时间的对称性可知与所需时间相等为，所以质点第3次通过点所需时间为。 2. 巧用加速度的对称性 [例3] 如图3所示，质量为的物体放在质量为的平台上，随平台在竖直方向上做简谐运动，振幅为，运动到最高点时，物体对平台的压力恰好为零，当运动到最低点时，求的加速度。 解析：我们容易证明，物体在竖直平面内做简谐运动，由小球运动到最高点时对M的压力为零，即知道物体在运动到最高点时的加速度为，由简谐运动的对称性知道，物体运动到最低点时的加速度和最高点的加速度大小相等，方向相反，故小球运动到最低点时的加速度的大小为，方向竖直向上。 [例4]轻弹簧（劲度系数为）的下端固定在地面上，其上端和一质量为的木板相连接，在木板上又放有一个质量为的物块。当系统上下振动时，欲使、始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？ 解析：从简谐运动的角度看，木板和物块的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力，即；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度，即，由以上两式可解为。当和在平衡位置下方时，系统处于超重状态，不可能和分离，因此和分离的位置一定在上方最大位移处，且和一起运动的最大加速度。由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为，所以轻弹簧的最大压缩量应满足关系式，即得。 3. 巧用速度的对称性 [例5] 如图所示是一水平弹簧振子在内的振动图象。从图象中分析，在给定的时间内，以为起点的哪段时间内，弹力所做的功为零。 解析：由速度的对称性可知，图5中与具有相同速率的时刻为、、、。结合动能定理可知，从到以上时刻所对应的时间内弹力所作的功均为零。 4. 巧用回复力的对称性 [例6]在质量为的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为的、两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断、间细线，此后将做简谐运动。当运动到最高点时，木箱对地面的压力为（ ） A. B. C. D. 解析：剪断细线后的瞬间，弹簧对的弹力为，所以受到向上的合外力（回复力）为。当运动到上方最大位移处时，由于简谐运动的回复力的对称性，将受到竖直向下的合外力（回复力），其大小仍为，也就是说，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力为。选项正确。 [例7]质量为的木块放在弹簧上端，在竖直方向上做简谐运动，当振幅为时，物体对弹簧的压力的最大值是物体重力的倍，则物体对弹簧的最小压力是_____；欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅不能超过_____。 分析与解答：物体对弹簧压力最大应是物体振动到最低点时，最小应是物体振动到最高点时。对物体进行受力分析，在最低点受两个力：重力和弹簧弹力，根据题中信息可知这两个力的合力大小为，方向向上，充当回复力。根据力大小的对称性可知，物体振动到最高点时，回复力大小也应为，方向向下，则物体在最高点所受弹簧的弹力应为，方向向上，根据牛顿第三定律物体对弹簧的最小压力为；物体脱离弹簧时应是弹簧恢复到自由伸长时，根据弹力可知，在原来的基础上弹簧再伸长一个振幅就可恢复到原长，所以欲使物体不离开弹簧，其振幅不能超过。 [例8]用质量不计的弹簧把质量为的木板与质量为的木板连接组成如图所示的装置，板置于水平地面上，现用一个竖直向下的力向下压木板，撤消后，板恰好被提离地面，由此可知力的大小是（ ） A. B. C. D. 解析：没撤去力时，物体静止，所受合力为零，把力撤去，物体受合力大小为，方向向上，开始向上振动，所以最大回复力为，根据力大小的对称性，振动到最高点时，回复力大小也为，对物体在最高点进行受力分析：重力和弹簧的弹力，合力为。即；再对物体进行受力分析，恰好被提离地面可得：，所以力的大小为。选项B正确。 5. 巧用能量的对称性 [例9] 一轻弹簧直立在地面上，其劲度系数为，弹簧的上端与盒子连接在一起，盒子内装物体，的上下表面恰好与盒子接触，和的质量，，不计阻力，先将向上抬高使弹簧伸长后从静止释放，和一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧的形变大小。试求：（1）的振幅；（2）的最大速率；（3）在最高点和最低点时对的作用力。 解析：（1）设和做简谐运动到平衡位置时，弹簧的压缩量为，由平衡条件，得，故的振幅为。 （2）当运动到平衡位置时速率最大，和由静止释放到平衡位置过程中，弹簧的伸长量与压缩量相等，弹性势能不变，由动能定理，得。 （3）设、一起运动的最大加速度大小（最高点和最低点）