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关于彩虹角度的几何计算 　　摘 要： 彩虹是气象中的一种光学现象。空气中的水滴受到太阳光照射，光线被折射及反射，从而形成七色光谱，雨后常见。作者利用斯涅尔定律对球形水滴进行几何处理，对彩虹形成加以分析 关键词： 彩虹角度 斯涅尔定律 几何计算 太阳光谱除了一些暗线以外，基本上是连续谱，它所发出的各种波长的可见光混合起来，给人的感觉是白光，经常指具有和太阳连续光谱相近的多色混合光。能够为人眼所感受的波长一般认为在380nm～760nm之间，即可见光谱 彩虹形成是因为太阳光射到空中接近球形的小水滴，造成光的色散及反射而成的。太阳光射入球形水滴时会同时以不同角度入射，在水滴内也是以不同的角度反射。其中以40°至42°的反射最强烈，形成人们所见到的彩虹 假设太阳光平行于水平面，选择其中一条窄光束照射一球形水滴，如图1所示。光束到达A处发生反射和折射，这里仅考虑折射光线，其入射角用i表示，折射角用r表示。根据斯涅尔定律[1]，以荷兰物理学家威理博平面上，并且与界面法线的夹角满足如下关系n■sini=n■?sinr（n■为空气折射率，20℃时，760mmHg时的折射率为1.00027，在工程光学[2]中常把空气折射率取1计算；n■为水的折射率取1.3330计算）。光束到达B点时，处于水和空气两种介质之间，会有部分折射光线射出，同时有部分光线在球形水滴内部反射，这里仅考虑反射光线，当光线到达C点时，同样会产生反射和折射，这里仅考虑折射光线，由几何关系易知在C处入射角为r，折射角为i 太阳光水平射入A点，于C点处射出，所以光线角度的改变量为δ，φ角度为其互补角，由光路图可知其满足几何关系δ=180°+2i-4r。现在考虑所有可能射入球形水滴的窄光束，显然当入射位置于球心时，入射角i为0°，当入射位置位于最顶端时，入射角i为90°，故而入射角i取值范围[0，90°]。通过计算可知入射角i与折射角r以及光线角度的改变量δ之间的关系，当i=0°时，δ=180°，然后到达最小值约是138°（φ角度最大值约为42°），此时入射角i约为60°，随入射角i增加，δ又开始慢慢增大，这是解释彩虹的关键部分 假如有一球形水滴，太阳光以所有入射角i射入，入射角i可以取[0，90°]中的任意值，由于是球形水滴，故光路一定是轴对称图形，可认为是绕轴线旋转构成，上文已给出φ角度最大值约为42°，那么返回太阳所在方向的光线会经历A、B、C路径后射出，光束以一个锥形的方式射出，并且锥形顶角的一半应该是42°左右。由几何关系可知φ角度不能大于42°，因此在圆锥面的外部是没有反射光线的，反射光线只能存在于圆锥面的内部 重点之处在于水中不同颜色光的折射率是有区别的，现已知红光（653.3nm）的折射率是1.3311、黄光（589.3nm）的折射率是1.3330、深绿（486.1nm）的折射率是1.3371、紫光（404.7nm）的折射率是1.3428等。由前文给出的几何关系可以计算φ角度与入射角i之间的关系，红光（653.3nm）φ角度最大值约为42.35°；黄光（589.3nm）φ角度最大值约为42.07°；深绿（486.1nm）φ角度最大值约为41.48°；紫光（404.7nm）φ角度最大值约为40.67°。上述结果可知，圆锥面顶角的一半取值范围约为40.67°至42.35°之间，且最外侧为红光，最内侧为紫光，当我们的视野在40.67°至42.35°范围内即可看到各种颜色的光，当视野在小于40.67°内，各种颜色的光均可反射，此时我们看到的便是白光。这便是彩虹几何原理的关键部分 综上，若以太阳光方向为参考线，会在偏离参考线约42°的方向看到彩虹，稍高一点是红色，稍低一点是蓝色（紫光实际上并不容易观测）。如果太阳靠近地平线，彩虹就会在地平线上较高的位置，当太阳慢慢升起，彩虹会慢慢下降，当太阳在地平线以上超过42°时，将看不到彩虹，所以太阳越高，看到彩虹的可能性就比较低。彩虹的明显程度，取决于空气中球形水滴的大小，体积越大，形成的彩虹越明显，小水滴体积越小，形成的彩虹越不明显。一般冬天的气温较低，空气中小水滴不容易存在，且下雨的机会也少，所以冬天很少出现彩虹 参考文献： [1]赵凯华.光学（新概念物理教程）[J].2004. [2]工程光学[M].天津大学出版社，1988. 安徽工程大学机电学院校级质量工程项目“构建工科类专业大学物理教学的典型案例库”资助的课题 1