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列方程解决实际问题的三把钥匙
列方程解决实际问题的三把钥匙 列方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型. 这是解决数学应用题的法宝,但学生在列方程解应用题方面的能力很差,整体提高学生列方程解应用题的水平,是非常有意义的. 学生在初学列方程解题时,其主要困难在于读不懂题,找不到等量关系. 追本溯源,我觉得是学生对基本知识理解不深刻. 第一步是单位,先说明一下在小学阶段学生接触的单位.
长度单位:厘米(cm)、分米(dm)、米(m)、千米(km).
面积单位:平方厘米(cm2)、平方分米(dm2)、平方米(m2).
体积单位:立方厘米(cm3)、立方分米(dm3)、立方米(m3).
重量单位:克(g)、千克(kg)、吨(t).
时间单位:秒(s)、分钟(min)、小时(h).
货币单位:元、角、分等.
我们把以上几种单位称为基本单位,把由两个单位或两个以上的单位构成的单位称为组合单位. 像速度单位:米/秒(m/s),它是由长度单位(米)和时间单位(秒)组合构成的. 它的意义是物体在单位时间(1s)内行驶的路程. 当然组合单位还有很多,下面会举例说到. 路程=速度×时间 这一基本公式是初中生接触较早的公式,它经过变形还会得到速度 = ■和时间 = ■,我们会发现,在这里路程的单位是米(m),时间的单位是秒(s),所以速度的单位是米/秒(m/s). 原来单位在运算中也是可以乘除的啊!通过单位可以判断出速度的单位是米/秒(m/s)或千米/时(km/h). 速度就是物体在单位时间内行驶的路程. 单位时间可以是1 s,1 min或1 h. 学生如理解了速度的内涵,那么
路程 = 速度 × 时间
速度 = 路程/时间
时间 = 路程/速度
这三个公式自然就熟记于心了. 我把任何一道实际问题需要的公式称为第一把钥匙.
一.路程问题
基本公式:路程=速度×时间
而路程问题中常见有两种.
相遇问题:等量关系是两者的路程和等于开始相距的路程.
追及问题:等量关系是两者的路程差等于开始相距的路程.
例1 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70 km/h,卡车的速度是60 km/h,客车比卡车早1 h经过B地. A,B两地间的路程是多少?
显然此题属于路程问题,基本公式是:路程=速度×时间,接着我们找等量关系,等量关系就是题中的某句话,这句话能够翻译成数学符号语言,也是列方程的关键所在,寻找等量关系的方法就是找到这样一句话,能写出加减乘除中一种运算的语句. 显然客车比卡车早1 h经过B地就是此题的等量关系.
卡车从A到B所用时间-客车从A到B所用时间=1 h(*).
此时我们发现此题用到的基本公式是:时间 = .
我们已经找到了两把钥匙(基本公式和等量关系),接下来就是把两把钥匙组合在一起构成解决问题的第三把钥匙. 把基本公式代入到(*)式,它变成了
二、工程问题
基本公式是:工作时间×工作效率=工作总量
时间 × 人数 × 人均效率 = 工作量
第一个公式经常指的是一项工程,一块地,一件工作,一池水等. 解题时通常把工作量看作单位1.
例2 一项工程,甲队独做需要做12天才能完成,乙队独做需要4天完成. 如果甲队先做了若干天后,由乙队单独接着做余下的工程,直至全部完工,这样前后一共用去了6天. 求甲队先做了几天?
工作总量看成1,甲乙的工作效率分别是和. 此题的等量关系是甲队先做了若干天后,由乙队单独接着做余下的工程,直至全部完工,这样前后一共用去了6天.
所以甲的工作效率 × 若干天 + 乙的工作效率 × (6 - 若干天) = 1
设甲先做了x天,那么乙做了(6 - x)天.
需要说明此类问题中工作效率就是工作时间的倒数,这个单位时间可以是分钟、小时、天等. 假如一个人(工程队)完成某项工作需要a小时(天),那么他或它的工作效率就是.
综上所述,列方程解应用题是在用算术方法解应用题的基础上进行教学的,我们要从题目本身挖掘出大量的条件,它以四则运算的基本应用和常见的数量关系为依据,综合运用了用字母表示数、解方程等知识,有特殊的解题思路和方法,有完整的解题步骤和程序. 我所说的根据单位判断题目中运用的基本公式只是其中的一种方法. 而等量关系的寻找也应该从题目本身出发,使学生体会到,想解决哪道题,那道题目本身就是突破口. 所以解决实际问题的三把钥匙如下:
(1)基本公式(关系式).
(2)找到等量关系,根据等量关系调整(变形)公式.
(3)把公式代入到题中的等量关系中.
列方程解决实际问题是初中数学中的难点也是重点,需要学生诸多方面
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