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贵州师范大学数计学院《中学数学研究》（几何） （B）
期末考试答案及评分标准（02数本）
一、(20分)用同一法证明:以正方形一边为底,在正方形所在的一侧作等腰三角形,使其顶角为30°,则将其顶点与正方形另两顶点连线,必构成等边三角形。
已知：正方形，，。
求证：为等边三角形。
证明：作等边三角形，连、、、，
则，，
，。
同理，，为等腰三角形。
。
与重合，与重合，为等边三角形。
二、(20分)四边形中有一双对边相等，证明另一双对边中点的连线与相等的两边成等角。
已知：四边形中，M、N分别为、的中点。
求证：与的夹角等于与的夹角。
证明：延长与延长线交于，延长与延长线交于，即要证。作M按向量平移到P，M按向量平移到Q。则BP平行且等于AM，QC平行且等于MD。因为，A、M、D共线，所以BP平行且等于QC。平行四边形BQCP中，N是BC的中点，所以P、B、Q共线，且N是PQ的中点。由MP平行且等于AB，MQ平行且等于DC，，所以。因为MP平行于EB，。因为MQ平行于FC，。所以。
三、(20分) 平行四边形ABCD的底边BC固定,且一边AB为定长,则其对角线交点的轨迹为一圆,圆心是BC的中点,半径是。
证明：
1.完备性
设M是合乎条件的任一平行四边形对角线交点，为中点，由，，为中位线。，M在上
2.纯粹性
设M在上任意一点，连延长到，使得。连接延长到A，使，则为平行四边形。由，，。平行四边形合乎条件，M是其对角线交点。
由1，2知，M点的轨迹是。
四、(20分)求作四边形,已知一双对边及两对角线长度,以及两对角线的交角。
2.已知：线段a、b、m、n，
求作：梯形ABCD，使得
。
分析：设图形已作出，作交BC于E，由，平行四边形。中，，
，可作出。其余部分可由此作出。
作法：作，使得，在BE上作，过C作CA平行且等于DE，连接AD、AB。梯形ABCD为所求。
证明：由作法，CA平行且等于DE。平行四边形ACED中，，，ABCD为梯形。，，梯形ABCD合乎条件。
讨论：、m、n中任意两边之和大于第三边时有一解，否则无解。
五、(20分)一直线与二面角的两面相交，若两交点到二面角的棱有等距离,则此直线交两面成等角。
证明：设直线交二面角两面于A、B，二面角，于，于，。作于，于，需证。由，所以，是二面角的平面角。同理，是二面角的平面角。。，，。所以，
，，，。所以，。与分别是AB与，AB与的夹角。故命题成立。
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