07年高三数学理科立体几何备考试题（附答案）.docVIP

07年高三数学理科立体几何备考试题及解答 1．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小； （III）求点E到平面ACD的距离．方法一： （I）证明：连结OC 在中，由已知可得 而 即 平面 （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在中， 是直角斜边AC上的中线， 异面直线AB与CD所成角的大小为 （III）解：设点E到平面ACD的距离为 在中， 而 点E到平面ACD的距离为 方法二： （I）同方法一． （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 异面直线AB与CD所成角的大小为 （III）解：设平面ACD的法向量为则 令得是平面ACD的一个法向量． 又 点E到平面ACD的距离 的底面是边长为1的正方形，侧棱长=2，． 求证：平面；求二面角的大小的余弦值； 求到平面的距离． 解：（1）在中，， 由此易得 对于问题（2）与（3），有两种方法： 方法一：（2）如图，连结AC，交BD于G，连结， 正方形ABCD中，，又平面，由三垂线定理可得，，故是二面角的平面角． 在，可求得，从而； （3）由，可知到平面的距离即为C到平面的距离，设该距离为d,连结，由 得，故 ． 方法二：如图，以A为坐标原点，分别以所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则有A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0）， （0，0，），（1，0，）， （2）， 设为平面的法向量，则 由得，取， 又平面ABD的法向量，则二面角的大小的余弦值为：； （3）则到平面的距离为： ． 3． 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1　　中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC1上一点，且BE=BC1 ． （１）求证： GE∥侧面AA1B1B ； （２）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小的余弦值 ． 解：解法1：(1)延长B1E交BC于F, ∵ΔB1EC∽ΔFEB,　BE＝ＥＣ１ ∴ＢＦ＝Ｂ１Ｃ１＝ＢＣ，从而Ｆ为ＢＣ的中点．　　 ∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心，∴Ａ、Ｇ、Ｆ三点共线，且＝＝ ∴GE∥AB1，又GE侧面AA1B1B， ∴GE∥侧面AA1B1B　　　　　 （２）在侧面AA1B1B内，过B1作B1Ｈ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC， ∴B1Ｈ⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2， ∴∠B1ＢＨ＝６００，ＢＨ＝１，B1Ｈ＝． 在底面ABC内，过Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ，垂足为Ｔ，连B1Ｔ．由三垂线定理有B1Ｔ⊥ＡＦ， 又平面B1GE与底面ABC的交线为ＡＦ，∴∠B1ＴＨ为所求二面角的平面角． ∴ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝３，∠ＨＡＴ＝３００，　∴ＨＴ＝ＡＨsin300＝， 在ＲｔΔB1ＨＴ中，cos∠B1ＴＨ＝＝， 从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角大小的余弦值为。　　　　 解法2：（１）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角， ∴∠A1AB＝６００，又AA1= ＡＢ= 2，取ＡＢ的中点Ｏ,则ＡＯ⊥底面ABC． 以O为原点建立空间直角坐标系O－ｘｙｚ， 则Ａ（０，－１，０），Ｂ（０，１，０），Ｃ（，０，０）， Ａ１（０，０，）Ｂ１（０，２，），Ｃ１（，１，）． ∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心，∴Ｇ（，０，０），　　∵＝　　 ∴Ｅ（，１，）∴＝（０，１，）＝， 又GE侧面AA1B1B， 　∴GE∥侧面AA1B1B　　　　　 （２）设平面B1GE的法向量为ｎ＝（ａ，ｂ，ｃ）， 则由ｎ·＝０及ｎ·＝０得ａ－ｂ－ｃ＝０；ｂ＋ｃ＝０． 可取ｎ＝（，－１，）． 又底面ABC的法向量为ｍ＝（０，０，１）， 设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为，则cos＝＝。 从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角大小的余弦值为。 4．如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB． (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小； （III）求二面角C-PA-B的大小的余弦值． 解：解法一：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB． ∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB． 又，∴AB平面PCB． (II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF． 则为异面直线PA与BC所成的角． 由（Ⅰ）可