08年高文科数学分类导数.docVIP

11 导数 一、选择题 1．（福建11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么 导函数的图象可能是（ A ） 2．（辽宁6）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ） A． B． C． D． 在点处的切线的倾斜角为（ B ） A．30° B．45° C．60° D．120° 4．（全国Ⅱ7）设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则（ A ） A．1 B． C． D． 二、填空题 1．（北京13）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则_________；2 函数在处的导数_________． 2．（江苏14）对于总有成立，则= 4 三、解答题 1．（安徽20）（本小题满分12分） 设函数为实数。 （Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值； （Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。 解: (1) ，由于函数在时取得极值，所以 即 (2) 方法一 由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 设 , 则对任意，为单调递增函数 所以对任意，恒成立的充分必要条件是 即 ， 于是的取值范围是 方法二 由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 于是对任意都成立，即 于是的取值范围是 2．（北京17）（本小题共13分） 已知函数，且是奇函数． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求函数的单调区间． 解：（Ⅰ）因为函数为奇函数， 所以，对任意的，，即． 又 所以． 所以 解得． （Ⅱ）由（Ⅰ）得． 所以． 当时，由得． 变化时，的变化情况如下表： 0 0 所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 当时，，所以函数在上单调递增． 3．(福建21)（本小题满分12分） 已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称. (Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间； (Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值. 解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……① 由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n, 则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n; 而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3, 代入①得n=0. 于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)得x2或x0, 故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f′(x)0得0x2, 故f(x)的单调递减区间是（0，2）. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2), 令f′(x)＝0得x=0或x=2. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： X (-∞.0) 0 (0,2) 2 (2,+ ∞) f′(x) + 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 由此可得： 当0a1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值； 当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值； 当1a3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值. 综上得：当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值. 4．（宁夏21）（本小题满分12分） 设函数，曲线在点处的切线方程为． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 21．解： （Ⅰ）方程可化为． 当时，． 2分 又， 于是解得 故． 6分 （Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为 ， 即． 令得，从而得切线与直线的交点坐标为． 令得，从而得切线与直线的交点坐标为． 10分 所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为 ． 故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为． 12分 5．（江西21）已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围． 令得 由时，在根的左右的符号如下表所示 极小值 极大值 极小值 所以的递增区间为 的递减区间为 （2）由（1）得到， 要使的图像与直线恰有两个交点，只要或， 即或. 6．（湖南21）已知函数有三个极值点。 （I）证明