关于方差统计推断.docVIP

第六章 关于方差的统计推断 [本章教学目的和要求]： 1、掌握总体方差、标准差的点估计方法；了解估计中系数1/n与1/(n-1)之间的区别；掌握单个正态总体方差、标准差的区间估计． 2、掌握单个正态总体方差的双侧假设问题的检验方法；掌握两个正态总体方差之比的双侧假设问题的检验方法． 第六章 关于方差的统计推断 课题名称 §1 方差的估计 学时 4 基本内容： 方差与标准差的点估计；估计中系数1/n与1/(n-1)之间的区别；单个正态总体方差、标准差的区间估计 教学重点（难点） 单个正态总体方差、标准差的区间估计 基本要求 1. 掌握总体方差、标准差的点估计方法 2. 了解估计中系数1/n与1/(n-1)之间的区别 3．掌握单个正态总体方差、标准差的区间估计 教学课型 新授 教学方法 讲授法、讨论 方差的估计 方差是总体分布的一个重要特征值，刻画了一个分布的离散程度，即表征总体的取值是相对集中还是比较分散．由前面关于均值统计推断的讨论可以知道，方差的大小会影响到均值区间估计的精度．在比较两个正态总体的均值时，还用到了两个总体方差相等的前提．因此，关于方差的统计推断是统计分析的一个重要方面．本章将讨论通过样本估计总体的方差以及检验有关方差假设的统计方法． 1.1 方差与标准差的点估计 如果容量为的样本是．那么对总体方差的点估计可取为 （6.1） 其中．在实际计算中，经常用下述公式 （6.2） 相应地，对标准差的点估计就是 （6.3） 例6.1.1 对某煤矿的7个样品作分析，测得煤的含灰率数据为24.3,20.8,23.7,21.3,17.4,18.2,20.2.已知煤的含灰率具有正态分布．试对含灰率分布的均值与方差作出估计． 解 对于均值所作的估计当然是 在作方差的估计时，先求平方和 再根据（6.2）式和（6.1）式，得到方差的估计值 与之相应的标准差的估计值是 系数与 在作方差的估计时，也有人使用公式 （6.4） 与（6.1）式作比较，容易得到 也即是（6.4）式的估计值较（6.1）式的值略小．如果样本容量很大，那么，这样两个估计式所得到的估计值将相差甚微，所以不至于对统计推断产生严重影响．如果样本容量 比较小，那么由（6.1）与（6.4）两式给出的估计值将有较为明显的差异，这时建议使用（6.1）式作方差的估计，因为估计式（6.1）有较好的统计性质． 考虑由正态总体获得的样本．从数理统计的理论中可已知道， （6.5） 其中称为自由度为的分布．因为分布的自由度正是分布的数学期望，所以（6.5）意味 或者 这表明，由（6.1）式给出的估计是无偏估计；而对于（6.4）式中的，有，是一个有偏估计．这就是在小样本时，我们认为是比要好的原因． 1．3 方差或标准差的区间估计 有了（6.5），使得在正态总体的情况下可以给出方差或标准差的区间估计．由于分布不是对称的，所以在用（6.5）式作方差或标准差的置信区间时，需要从分布表中查出两个分位点值，而不只是一个值． 一般，如果容量为的样本是来自一个正态总体．当给定了置信度，要求总体方差的区间估计，则可在分布表中，取自由度为，查找两个分位点值与，它们分别满足 , . 这样的置信度为的置信区间即为 （6.6） 式中为（6.1）式所给的的点估计．由于标准差是方差的算术平方根，所以自然地就将 （6.7） 作为标准差的置信度为的置信区间． 例6.1.2 在表6.1中给出了20位学生在一次高中数学测试中的成绩（分）．现在认为这次数学测试的成绩服从正态分布．试依据所给样本观察值，求方差及标准差的置信度为95%的置信区间． 表6.1 20位学生的数学测试成绩 87 79 75 61 68 69 79 84 70 71 70 84 83 59 77 80 69 91 76 73 解 我们用．因为置信水平为，所以．由已知有,将代入中求得方差的置信度为95%的置信区间是 ， 相应地，标准差的置信度为95%的置信区间为 ． 在样本容量较大时，无法由分布表得到所需要的分位点值，这时可以用正态分布作近似，认为 （6.8） 于是当给定了置信度之后，可以从标准正态分布表中求得，这样可以得到标准差的置信度为的置信区间 （6.9） 自然，这时可以近似地认为