关于解3角形的1些基本方法.docVIP

解三角形 教学目标： 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 教学重点：正、余弦定理的综合运用。 教学难点：运用正、余弦定理解决实际应用问题。 教学过程： 一、知识梳理 1、三角形中各元素间的关系： 如图在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）三角形三边大小关系： （3）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 。（R为外接圆半径） （4）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 注意运用正、余弦定理进行边角转化 2、三角形的面积公式： （1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； （2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； 3、求解三角形 条件 角角边 边边角 边边边 边角边 适用定理 正弦定理 正弦定理或余弦定理 余弦定理 余弦定理 二、例题讲解： 例1、在中，已知，求角B和边长c。 解： 又 用正弦定理或者余弦定理两种方法可求得 说明：⑴若A为锐角时： ⑵若A为直角或钝角时： 例2、在中，，，，求的值和的面积。 解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由计算它的对偶关系式的值。 ① , ② ①　+　②　得　　。 ①　－　②　得　　。 从而　。 以下解法略去。 点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 练习：在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值． 解（1）因为，，又由 得， （2）对于，又，或，由余弦定理得 ， （2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 . 解设由正弦定理得 由锐角得， 又，故， （200）的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：（Ⅰ）的值； （Ⅱ）cotB +cot C的值. 解：（Ⅰ）由余弦定理得＝ 故 （Ⅱ）解法一：＝＝ 由正弦定理和（Ⅰ）的结论得　 故 解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有＝故 同理可得 从而 例5、（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二由余弦定理得: .又,. 所以 ① 又， ，即 由正弦定理得，故 ② 由①，②解得. 评析从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练 (2) 选题意图：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状. 解：（1）解法一：由余弦定理得： AcosA=BcosB ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 解法二：利用正弦定理进行边角转化 （2）由正弦定理得：代入已知等式： 即tanA=tanB=tanC ∵A、B、C∈(0,π) ∴A=B=C ∴△ABC为等边三角形. 说明：根据已知条件，适当选取使用的定理.也是应该在解题中注意的问题. 例7、如图，计算岸边两景点的距离，在岸上选取和两点，测得，， ，，求两景点的距离（在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：） 解：在ABD中，设BD=x则即整理得：解之： （舍去）由弦定理： ∴≈11(km). 答：两景点的距离在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角，在塔底C处测得点A的俯角，已知铁塔BC部分高32米，求山高CD。 得 在等腰Rt△ACD中， （m） 图1 答：山的高度为米。 练习：用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测