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几何基本图形在中考中的运用
所有几何图形问题的解决,几乎都要回归到基本图形的性质,而能否得心应手地运用基本图形,则要靠以下两点:第一点,对基本图形性质掌握的深刻程度;第二点,基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的。
正是为了帮助同学们学好、用好这两点,我们特将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析,以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础。
一、线段的性质和线段中点的功能
应掌握好:
1、线段的两种变换性质;
2、线段中点的三项功能。
1、线段的变换性质
从“变换”的角度说,线段既是轴对称图形(它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴),又是中心对称图形(中点就是对称中心)
如图,是任意三角形,请画出和具有全等的关系。
【观察与思考】如果把要画的看作是由变换而来的,那么这个变换使线段BC变成自身,联想到线段的变换性质,就应有三种结果。
(1)
(2)
解:如图(2)(其中直线是BC所在的直线,点为点A关于直线的对称点;直线是线段BC的垂直平分线,点为点A关于直线的对称点;点O是线段BC的中点,点和点A关于点O为对称。都和全等。
【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。
2、线段中点的三项功能
(1)构造三角形的中线,特别是直角三角形的中线
三角形的中线,特别是直角三角形斜边上的中线,在相关问题的解决中常有重要的作用。
例2 如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,AG//DB,交CB延长线于点G。
若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论。
【观察与思考】首先,由,GB//AD,AG//DB,知四边形AGBD已是平行四边形,其次,
由四边形BEDF是菱形,而点E是AB的中点,即ED是中AB边上的中线,且
DE=EB=AE,立刻知道,即四边形AGBD是矩形。
解:(略)
【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识,直接诱发出
从DE=EB=AE,导出。
(2)构造三角形的中位线
例3 如图(1),已知,AD是的中线,E是AD上一点,连结CE并延长交AB于点F。
(1)若E是AD的中点,则 ;
(2)若AE:ED ;
(3)若AE:ED,则 ; (1)
【观察与思考】(1)如图(2),作DM//CF,交AB于点M,EF为的中位线,得AF=FM,
DM为的中位线,得BM=MF。可知。
(2)如图(3),作DM//CF,交AB于点M,易知,∽,
得。又DM为的中位线,得DM=FM, (2)
(3)类比于(1)和(2),应有(其实可有与(2)类似的推演过程)
【说明】本题解决的关键就在于构造出的中位线DM。
(3)构造中心对称图形
线段的中点是该线段的对称中心,这一性质的延伸,就是以它为基础作“中心对称构造” (3)
(特别是中心对称型 全等三角形)来使相关问题获得解决。
例4 已知,如图D是的边BA延长线上一点,有AD=BA,E是边AC上一点,且DE=BC
求证:
【观察与思考】以BD及其中点A为基础,构造“中心对称型”三等三角形。
解法提示:如下面图(1),(2),(3)。
(2) (3)
(1)
方法一:如图(1),延长CA到F,使FA=CA,连结FD,有,DF=BC=DE,得
方法二:如图(2),分别作交CA的延长线于N,垂足为M,则有得,DN=BN,进而推得,得
方法三:如图(3)延长CA到G,使得AG=EA,则得再由BG=DE=BC,得。
特别说明:我们借助基本图形的变换性质,能更好更快地发现图形或图形元素之间的关系,但要证明还需要按教材上的演绎形式来论述。简单说就是“借变换发现,按原格式证明”。本书均按此方式来做,以后不再重申。
例5 操作: 如图,点O为线段MN的中点,直线PQ与线段MN相交于点O,利用图(1)画出一对以点O为对称中心的全等三角形。
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动。
(1) (2)
探究:如图(2),在四边形ABCD中,AB//CD,E为BC边的中点,与DC的延长线相交于点F,试探究线段AB与AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论。
【观察与思考】对于图(1),只要在直线PQ上点O的两侧分别取点E,F使OE=OF,就有(图略)对于图(2),延长AE到G,使EG=EA,连结CG,如图(2`)。由“操作”的结论可知,
得AB=GC,即CG//AB,而CF//AB,可知点F在GC上,而由,得AF=GF。这样就有
解:(略)
(2`)
由以上题目的解法研究看出:
凡是涉及线段(包括多边形的边)及其中点的的问题,
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