十四矩阵的特征值与特征向量.docVIP

天水师范学院数学与统计学院 实验报告 实验项目名称 矩阵的特征值与特征向量 所属课程名称 高等数学实验 实 验 类 型 线性代数 实 验 日 期 2011.12.14 班 级 08级数应七班 学 号 281010716 姓 名 吴向阳 成 绩 一、实验概述： 【实验目的】 学习掌握利用Mathematica(4．0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量；利用特征值求二次型的标准形 【实验原理】 (1)命令Eigenvalues，给出方阵M的特征值． (2)命令Eigenvectors[M]，给出方阵M的特征向量．但是时输出中含有零向量，此时输出中的非零向量才是真正的特征向量． (3)命令eigensystem[M]，给出方阵m的特征值和特征向量．同样，有时输出的向量中含有零向量． (4)调用“线性代数．向量组正交化”软件包命令是 LinearAlgebra\Orthogonalization.m 现在,对向量组施行正交单位化的命令GramSchmidt就可以使用了,命令Gramschmidt[A]给出与矩阵a的行向量组等价的且已正交化的单位向量组． 【实验环境】 Mathematica 二、实验内容： 【实验方案】 1．求方阵的特征值与特征向量 2. 矩阵的相似变换 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 1．求方阵的特征值与特征向量 Clear[M]; M={{1,2,3},{2,1,3},{3,3,6}}; Eigenvalues[M] Eigenvectors[M] Eigensystem[M] 用命令Eigenvalues[M]立即求得方阵M的特征值，命令Eigenvectors[M]立即求得方阵M的特征向量，命令Eigensystem[M]立即求得方阵的特征值和特征向量 例14.2求方阵M的特征值和特征向量 (*Example14.2*) G={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}}; Eigensystem[G] G={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}}; Eigensystem[G] 例14．，已知：是方阵的特征值，求t． (*Example14.3*) Clear[A,q]; A={{2-3,0,0},{-1,2-t,-3},{-1,-2,2-3}}; q=Det[A]; Solve[q?0,t] 例14．4已知z=(1，1，一I)是方阵A=J 5 (*Example14.4*) Clear[A,B,v,a,b,t]; A={{t-2,1,-2},{-5,t-a,-3},{1,-b,t+2}}; v={1,1,-1}; B=A.v; Solve[{B[[1]]?0,B[[2]]?0,B[[3]]?0},{a,b,t}] 2-矩阵的相似变换 若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则A与对角阵相似．实对称阵总与对角阵相似，且存在正交阵P，使P’AP为对角阵．命令EigenVectors[A]与Eigensystem[A]给出还未经过正交化和单位化的特征向量因此要对特征向量进行正交化和单位化所用的命令是GramSchmidt[ ]不过首先要输人调用软件包LinearAlgebra＼Orthogonalization．m的命令 例14 5设方阵A=，求一可逆阵P，使P-1AP为对角阵． Clear[A,p]; A={{4,1,1},{2,2,2},{2,2,2}}; Eigenvalues[A]; p=Eigenvectors[A]//Transpose Inverse[p].A.p jor=JordanDecomposition[A] jor[[1]] jor[[2]] 例14 6方阵A是否与对角阵相似? Clear[A]; A={{1,0},{2,1}}; Eigensystem[A] 例14．7 Clear[x,v]; v={{4,0,0},{-2,2-x,-2},{-3,-1,1}}; Solve[Det[v]?0,x] 例14．8对实对称矩阵A= LinearAlgebra\Orthogonalization.m Clear[a,p]; A={{0,1,1,